데데킨트 에타 함수

데데킨트 에타 함수의 그래프

수학에서 데데킨트 에타 함수(Dedekind eta function)은 복소평면의 열린 상반평면 위에 정의된, 원환면의 모듈러 군 대칭을 따르는 정칙함수다. 리하르트 데데킨트의 이름을 땄다. 기호는 그리스 소문자 에타 $η (τ)$

정의

열린 상반평면을 $ℍ$ 라고 쓰자. 데데킨트 에타 함수 $η : ℍ \to ℂ$ 는 다음과 같은 함수이다.

η (τ) = \exp (π i τ / 12) \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \exp (2 n π i τ))

.

보통 $q (τ) = \exp (2 π i τ)$ 를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다.

η (τ) = q^{1 / 24} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{n})

.

데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나, 복소 평면 전체로 해석적 연속할 수 없다.

데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군 $Γ_{0} (1)$ 에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다.^[1]

η (τ + 1) = \exp (π i / 12) η (τ)

η (- 1 / τ) = \sqrt{- i τ} η (τ)

.

보다 일반적으로, 임의의 뫼비우스 변환

τ \mapsto \frac{a τ + b}{c τ + d}

(

a d - b c = 1

,

c \geq 0

)

에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.

η (\frac{a τ + b}{c τ + d}) = ϵ (a, b, c, d) (c τ + d)^{\frac{1}{2}} η (τ)

.

여기서

ϵ (a, b, c, d) = \exp (i π b / 12)

(

c = 0, d = 1

인 경우)

ϵ (a, b, c, d) = \exp (i π ((a + d) / (12 c) - s (d, c) - 1 / 4))

(

c > 0

인 경우)

여기서

s (h, k) = \sum_{n = 1}^{k - 1} \frac{n}{k} (\frac{h n}{k} - ⌊ \frac{h n}{k} ⌋ - \frac{1}{2})

를 데데킨트 합(Dedekind sum)이라고 한다.

함수 방정식 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다.

η (i) = \frac{Γ (1 / 4)}{2 π^{3 / 4}}

η (i / 2) = \frac{Γ (1 / 4)}{2^{7 / 8} π^{3 / 4}}

η (2 i) = \frac{Γ (1 / 4)}{2^{11 / 8} π^{3 / 4}}

η (4 i) = \frac{\sqrt[4]{- 1 + \sqrt{2}} Γ (1 / 4)}{2^{29 / 16} π^{3 / 4}}

여기서 $Γ (1 / 4) \approx 3.626$ 는 감마 함수이다.

↑ Siegel, Carl Ludwig (1954년 6월). “A simple proof of $η (- 1 / τ) = η (τ) \sqrt{τ / i}$ ”. 《Mathematika》 1 (1): 4–4. doi:10.1112/S0025579300000462.

Köhler, Günter. 《Eta products and theta series identities》 (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-642-16152-0. ISBN 978-3-642-16151-3. ISSN 1439-7382.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Dedekind Eta Function” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
이철희. “데데킨트 에타함수”. 《수학노트》.