데데킨트 제타 함수

대수적 수론에서 데데킨트 제타 함수(Dedekind ζ 函數, 영어: Dedekind zeta function)는 임의의 대수적 수체에 대하여 정의되는 유리형 함수이다. 이는 리만 제타 함수의 일반화이다. 구체적으로, 리만 제타 함수는 유리수체에 대한 데데킨트 제타 함수이다.

데데킨트 제타 함수는 L-함수의 대표적인 예이다.

역사

페터 구스타프 르죈 디리클레가 쓴 수론 교재 《수론 강의》(독일어: Vorlesungen über Zahlentheorie)에서, 리하르트 데데킨트가 쓴 부록에 처음 등장하였다.

정의

대수적 수체 $K$ 가 주어졌고, 또한 $s \in ℂ$ 가 $Re (s) > 1$ 이라고 하자. 그렇다면 수체 $K$ 의 데데킨트 제타 함수 $ζ_{K} (s)$ 는 다음과 같은 디리클레 급수로 정의된다.

ζ_{K} (s) = \sum_{𝔞 \subseteq 𝒪_{K}}^{𝔞 \neq 0} \frac{1}{N_{K / ℚ} (𝔞)^{s}}

여기서

$\sum_{𝔞 \subseteq 𝒪_{K}}^{𝔞 \neq 0}$ 는 $K$ 의 대수적 정수환 $𝒪_{K}$ 의 0이 아닌 아이디얼들에 대한 합이다.
$N_{K / ℚ} (𝔞) = | 𝒪_{K} / 𝔞 |$ 는 $𝔞$ 에 대한 몫환의 크기이다.

일반적인 $s \in ℂ$ 에 대해서는 이 함수를 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 유리형 함수로 확장시킬 수 있다. 이 경우, 유일한 극점은 $s = 1$ 이다. 이 극점에서의 유수는 유수 공식으로 주어지며, 수체 $K$ 의 수론적인 불변량들로 주어진다.

성질

데데킨트 제타 함수는 다른 L-함수와 마찬가지로 오일러 곱(Euler product)과 함수 방정식(functional equation)을 갖는다.

오일러 곱

데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱을 갖는다. 모든 $Re s > 1$ 인 $s \in ℂ$ 에 대하여,

ζ_{K} (s) = \prod_{𝔭 \in Spec 𝒪_{K}} \frac{1}{1 - N_{K / ℚ} (𝔭)^{- s}}

여기서

$\prod_{𝔭 \in Spec 𝒪_{K}}$ 는 $K$ 의 대수적 정수환 $𝒪_{K}$ 의 소 아이디얼들에 대한 곱이다.

이는 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이고, 데데킨트 정역에서는 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일 소인수분해가 성립하기 때문이다.

함수 방정식

데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 갖는다. 감마 인자(gamma factor)를 다음과 같이 정의하자.

Γ_{ℝ} (s) = π^{- s / 2} Γ (s / 2)

Γ_{ℂ} (s) = 2 (2 π)^{- s} Γ (s)

여기서 Γ(s)는 감마 함수이다. 그렇다면 다음을 정의하자.

Λ_{K} (s) = {| Δ_{K} |}^{s / 2} Γ_{ℝ} (s)^{r_{ℝ}} Γ_{ℂ} (s)^{r_{ℂ}} ζ_{K} (s)

여기서

$r_{ℝ}$ 는 $K$ 의 실 위치(real place)의 수이다.
$r_{ℂ}$ 는 $K$ 의 복소 위치(complex place)의 수이다.
$Δ_{K}$ 는 $K$ 의 판별식이다.

그렇다면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다. 모든 $s \in ℂ$ 에 대하여,

Λ_{K} (s) = Λ_{K} (1 - s)

같이 보기

참고 문헌

Narkiewicz, Władysław (2004). 《Elementary and analytic theory of algebraic numbers》 3판 (영어). Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. Chapter 7. ISBN 978-3-540-21902-6. MR 2078267.

외부 링크

“Zeta-function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
이철희. “데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.
이철희. “복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.
이철희. “이차 수체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.
이철희. “원분체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.