동류 사상

수학, 특히 대수기하학에서 동류 사상(isogeny)은 대수군(군 다형체라고도 함)의 유한 핵 전사 사상이다.

군이 아벨 다형체인 경우 기저 다형체의 임의의 유한 올 전사 사상 f : A → B은 f(1_A) = 1_B인 경우 자동으로 동류 사상이다. 그러한 동류 사상 f는 f가 정의된 임의의 체 k에 대해 A와 B의 k값 점들이 이루는 군들 사이에 군 준동형사상을 제공한다.

"동류 사상"와 "동류적"이라는 용어는 그리스어 ισογενη-ς에서 유래했으며, 이는 "동일한 종류 또는 본성"을 의미한다. "동류 사상"라는 용어는 베유에 의해 도입되었다. 그 전에는 "동형사상(isomorphism)"이라는 용어가 현재 동류 사상이라고 불리는 것에 대해 다소 혼란스럽게 사용되었다.

아벨 다형체의 경우

파일:Lattice torsion points.svg

E 에 대한 동류 타원 곡선은 E를 유한 부분 군(여기서는 4-비틀림 부분 군의 부분 군)으로 몫화하여 얻을 수 있다.

타원 곡선과 같은 아벨 다형체의 경우 이 개념은 다음과 같이 공식화 될 수도 있다.

E₁과 E₂ 를 체 k에 대해 동일한 차원의 아벨 다형체이라고 하자. E ₁과 E ₂ 사이의 동류 사상은 기준점을 보존하는 다형체의 조밀한 사상 f : E₁ → E₂이다. (즉, f는 E₁의 항등점을 E₂의 항등점에 사상).

이것은 위의 개념과 동일하다. 같은 차원의 두 아벨 다형체 사이의 모든 조밀한 사상은 자동으로 유한한 올을 가지고 전사이다. 그리고 항등원을 보존한다면 군 준동형이다.

두 개의 아벨 다형체 E₁과 E₂는 동류 사상 E₁ → E₂ 이 있는 경우 동류라고 한다. 이는 동치 관계로 표시될 수 있다. 타원 곡선의 경우 대칭은 쌍대 동류 사상의 존재 때문이다. 위와 같이, 모든 동류 사상은 아벨 다형체의 k값 점들이 이루는 군의 동형을 유도한다.

같이 보기

참고 문헌

Lang, Serge (1983). 《Abelian Varieties》. Springer Verlag. ISBN 3-540-90875-7.
Mumford, David (1974). 《Abelian Varieties》. Oxford University Press. ISBN 0-19-560528-4.