근계

예외 리 군 G₂의 근계.

α

와

β

는 단순근이다.

리 군 이론에서, 근계(根系, 영어: root system)는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 근(根, 영어: root)이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(單純根, 영어: simple root)의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 기약 근계(旣約根系, 영어: irreducible root system)의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.

정의

유한 차원 실수 내적 공간 $(V, (\cdot, \cdot))$ 속의 부분 집합 $Φ \subseteq V$ 가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, 근계라고 한다.

(선형 생성) $V = {Span}_{ℝ} Φ$ . 즉, $V$ 의 모든 원소는 $Φ$ 의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
(스칼라배의 제한) $α \in Φ$ 라면, $- α \in Φ$ 이고, 그 밖의 다른 스칼라배 $t Φ$ ( $t \in ℝ$ )는 $Φ$ 의 원소가 아니다.
(반사에 대한 닫힘) 임의의 $α, β \in Φ$ 에 대하여, $α$ 에 대하여 수직인 초평면에 대한 $β$ 의 반사 $β - 2 α (α, β) / (α, α)$ 도 $Φ$ 의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
(정수성) $0 \in̸ Φ$ 이며, $\forall α, β \in Φ : 2 (α, β) / (α, α) \in ℤ$
유한 집합이다.

근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, 영어: rank)는 $V$ 의 차원이다.

두 실수 내적 공간 $V$ , $V^{'}$ 및 그 속의 근계 $Φ \subseteq V$ , $Φ^{'} \subseteq V^{'}$ 에 대하여, 만약 $f (Φ) = Φ^{'}$ 가 되는 전단사 실수 선형 변환 $f : V \to V^{'}$ 이 존재하며, 또한

\frac{(f (α), f (β))_{V^{'}}}{(f (α), f (α))_{V^{'}}} = \frac{(α, β)_{V}}{(α, α)_{V}} \forall α, β \in Φ

라면, $(V, Φ)$ 와 $(V^{'}, Φ^{'})$ 를 서로 동형이라고 한다.

특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 $(V, (-, -)) \to (V, 2 (-, -))$ 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 $\sqrt{2}$ 로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 $1$ 또는 $\sqrt{2 / 3}$ 이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.

⟨ α, β ⟩ = \frac{2 (α, β)}{(α, α)}

(이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)

양근과 단순근

근계 $Φ$ 의 양근의 집합(陽根의 集合, 영어: set of positive roots) $Φ^{+} \subset Φ$ 는 다음을 만족하는 부분집합이다.

임의의 $α \in Φ$ 에 대하여, $α \in Φ^{+}$ 이거나 $- α \in Φ^{+}$ 이지만, ${α, - α} \subset Φ^{+}$ 는 아니다.
$α, β \in Φ^{+}$ 이고, $α + β \in Φ$ 이면 $α + β \in Φ^{+}$ 이다.

양근의 집합의 원소를 양근(陽根, 영어: positive root)이라고 한다. 양근의 집합 $Φ^{+} \subseteq Φ$ 이 주어졌을 때, 격자

{v \in V : \forall α \in Φ : α^{\lor} (v) \in ℤ}

위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

u \leq v ⟺ \forall α \in Φ^{+} : α^{\lor} (v - u) \geq 0

이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.

단순근

어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, 단순근(單純根, 영어: simple root)은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 $V$ 의 기저를 이룬다.

카르탕 행렬

근계 $Φ$ 와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 $α_{1}, \dots, α_{r}$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 카르탕 행렬(영어: Cartan matrix) $M$ 은 다음과 같은 $r \times r$ 정사각 행렬이다.

M = (M_{i j})_{i, j = 1, \dots, r}

M_{i j} = 2 \frac{(α_{i}, α_{j})}{(α_{i}, α_{i})}

정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.

딘킨 도표

파일:Finite Dynkin diagrams.svg

기약근계의 딘킨 도표

각 근계 $(V, Φ)$ 에 대하여, 딘킨 도표(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 $(V, Φ)$ 의 양근의 집합 $Φ^{+} \subseteq Φ$ 를 고르자.

딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다.
두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.

근 사이 각 (라디안)	근 사이 각 (°)	변의 종류
$π / 2$	90°	변 없음
$2 π / 3$	120°	하나의 변
$3 π / 4$	135°	두 개의 변 + 화살표
$5 π / 6$	150°	세 개의 변 + 화살표

딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.

성질

파일:Integrality of root systems.svg

정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각은

π / 2

,

π / 3

,

π / 4

,

π / 6

또는 이들의 여각이다.

근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.

ℤ ∋ 2 \frac{(α, β)}{(α, α)} \cdot 2 \frac{(α, β)}{(β, β)} = 4 \frac{(α, β)^{2}}{| α |^{2} | β |^{2}} = 4 \cos^{2} (θ) = (2 \cos (θ))^{2} .

$2 \cos (θ) \in [- 2, 2]$ 이므로,

\cos θ = 0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1

이다. 즉, $θ$ 는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

연산

스칼라배

근계 $(V, Φ)$ 및 임의의 실수 $t \in ℝ ∖ {0}$ 및 임의의 직교 행렬 $M \in O (V; ℝ)$ 에 대하여, $(V, t M Φ)$ 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 $(V, Φ)$ 와 동형이다.

직합

두 근계 $(V, Φ)$ , $(V^{'}, Φ^{'})$ 가 주어졌을 때, 그 직합 $Φ \oplus Φ^{'}$ 은 다음과 같은 근계이다.

Φ \oplus Φ^{'} = ι (Φ) \cup ι^{'} (Φ^{'})

V \overset{ι}{\to} V \oplus V^{'} \overset{ι^{'}}{\leftarrow} V^{'}

여기서 $ι$ 와 $ι^{'}$ 은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

기약 근계(旣約根系, 영어: irreducible root system)는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(영어: long root), 짧은 것은 짧은 근(영어: short root)으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 $\sqrt{2}$ 이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 $\sqrt{2}$ 로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) $1$ 로 잡는다.)

쌍대 근계

근계 $(V, Φ)$ 의 쌍대 근계(雙對根系, 영어: dual root system)는 다음과 같다.

$V^{\lor}$ 는 $V$ 의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 $V \to V^{\lor}$ 이 존재한다.
$Φ^{\lor} = {α^{\lor} : α \in Φ}$
임의의 $u, v \in V$ 에 대하여, $u^{\lor} \in V^{*}$ , $u^{\lor} (v) = ⟨ u, v ⟩ = 2 (u, v) / (u, u)$

그렇다면 $(V^{\lor}, Φ^{\lor})$ 역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 $(V, Φ)$ 는 그 이중 쌍대 근계 $(V^{\lor \lor}, Φ^{\lor \lor})$ 와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, $B_{n}$ 의 쌍대 근계는 $C_{n}$ 이다. 다른 단순 근계들( $A_{n}$ , $D_{n}$ , $E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}$ )은 스스로의 쌍대 근계이다.

분류

기약 근계의 목록

기약 근계는 다음과 같이 분류한다. 고전 근계(영어: classical root system)는 네 개의 족 $A_{n}$ , $B_{n}$ , $C_{n}$ , $D_{n}$ 으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외 근계(영어: exceptional root system) $G_{2}, F_{4}, E_{6}, E_{7}, E_{8}$ 이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 $\sqrt{2}$ 가 되도록 정규화하였다.^[1]

근계	근의 수	짧은 근 수	긴 근 부분격자의 지표	카르탕 행렬식	바일 군의 크기	콕서터 수 $h$	이중 콕서터 수 $h^{\lor}$	딘킨 도표	콕서터 라벨^[2]^:43	이중 콕서터 라벨^[2]^:43
A_n (n ≥ 1)	n(n + 1)			n + 1	(n + 1)!	$n + 1$		$∙ - ∙ - \dots - ∙$	$1 - 1 - \dots - 1$
B_n (n ≥ 2)	2n²	2n	2	2	2ⁿ n!	$2 n$	$2 n - 1$	$∙ - ∙ - \dots - ∙ \Rightarrow ∙$	$1 - 2 - \dots - 2 \Rightarrow 2$	$1 - 2 - \dots - 2 \Rightarrow 1$
C_n (n ≥ 3)	2n²	2n(n − 1)	2	2	2ⁿ n!	$2 n$	$n + 1$	$∙ - ∙ - \dots - ∙ \Leftarrow ∙$	$2 - 2 - \dots - 2 \Leftarrow 1$	$1 - 1 - \dots - 1 \Leftarrow 1$
D_n (n ≥ 4)	2n(n − 1)			4	2^n − 1 n!	$2 n - 2$		$∙ - ∙ - \dots - ∙ < \binom{∙}{∙}$	$1 - 2 - \dots - 2 < \binom{1}{1}$
E₆	72			3	2⁷×3⁴×5	12		$\binom{∙ - ∙}{∙ - ∙} > ∙ - ∙$	$\binom{1 - 2}{1 - 2} > 3 - 2$
E₇	126			2	2¹⁰×3⁴×5×7	18		$\binom{∙}{} \binom{-}{} \binom{∙}{∙} > ∙ - ∙ - ∙ - ∙$	$\binom{2}{} \binom{-}{} \binom{3}{2} > 4 - 3 - 2 - 1$
E₈	240			1	2¹⁴×3⁵×5²×7	30		$\binom{∙}{} \binom{-}{} \binom{∙}{∙} > ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙$	$\binom{2}{} \binom{-}{} \binom{4}{3} > 6 - 5 - 4 - 3 - 2$
F₄	48	24	4	1	2⁷×3²	12	9	$∙ - ∙ \Rightarrow ∙ - ∙$	$2 - 3 \Rightarrow 4 - 2$	$2 - 3 \Rightarrow 2 - 1$
G₂	12	6	3	1	2²×3	6	4	$∙ ⇛ ∙$	$2 ⇛ 3$	$2 ⇛ 1$

고전적 기약 근계

$A_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 $ℝ^{n + 1}$ 의 원소로 표기하였다.)

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

$B_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다.

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n - 1} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

α^{n} = (0, 0, \dots, 0, 1)

$C_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다.

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n - 1} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

α^{n} = (0, 0, \dots, 0, 2)

$D_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다.

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n - 1} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

α^{n} = (0, 0, \dots, 1, 1)

예외적 기약 근계

예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

E₈
1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½

F₄
1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	0
-½	-½	-½	-½

G₂
$\sqrt{2 / 3}$	0
$- \sqrt{3 / 2}$	$1 / \sqrt{2}$

예

낮은 차원의 근계

0차원 근계는 (자명하게) 하나밖에 없다.

1차원 근계는 하나밖에 없으며, ${- \sqrt{2}, \sqrt{2}} \subset ℝ$ 이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, $B_{2}$ 와 $C_{2}$ 는 서로 동형이며, $A_{1} \times A_{1}$ 과 $D_{2}$ 역시 서로 동형이다.)

Root system A1 + A1	Root system A2	Root system B2
$A_{1} \times A_{1}$	$A_{2}$	$B_{2}$
섬네일을 만드는 중 오류 발생:	Root system D2	Root system G2
$C_{2}$	$D_{2}$	$G_{2}$

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.

파일:Root vectors b3 c3-d3.png

반단순 리 대수에 대응되는 근계

복소수체 위의 반단순 리 대수 $𝔤$ 및 그 카르탕 부분 대수 $𝔥 \subseteq 𝔤$ 가 주어졌다고 하자. $𝔥$ 는 $𝔤$ 의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.

그렇다면, $𝔤$ 의 딸림표현에 대응하는 $𝔥$ -무게들

Φ = {α \in 𝔥^{\lor} : 𝔤_{α} \neq 0} \subseteq 𝔥^{\lor}

을 생각하자. 그렇다면, $(𝔥^{\lor}, Φ)$ 는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.

$𝔤$ 의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 $(𝔥^{\lor}, Φ)$ 의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

역사

근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.

각주

↑ Polchinski, Joseph. 《String theory. Volume 2》 (영어).
↑ ^가 ^나 Fuchs, Jürgen A. (1995년 3월). 《Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-052148412-1. MR 1337497. Zbl 0952.17016.

Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

외부 링크

“Root system” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Dynkin diagram” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Root system” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Dynkin diagram” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
이철희. “루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)”. 《수학노트》.
McKay, John (2001년 1월 1일). “A Rapid Introduction to ADE Theory” (영어).
Proctor, R. A. (1993년 12월). “Two amusing Dynkin diagram graph classifications” (영어). 《The American Mathematical Monthly》 100 (10): 937–941. doi:10.2307/2324217. ISSN 0002-9890. JSTOR 2324217.

같이 보기

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

위키미디어 공용에 [{{fullurl:Commons:모듈:WikidataIB 508번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).|uselang=ko}} 근계] 주제와 관련된 미디어 분류가 있습니다.

모듈:Authority_control 159번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

[1] Polchinski, Joseph. 《String theory. Volume 2》 (영어).

[Fuchs-2] 가 ^나 Fuchs, Jürgen A. (1995년 3월). 《Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-052148412-1. MR 1337497. Zbl 0952.17016.

[1]

[2]