반단순 리 대수

리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, 영어: semisimple Lie algebra)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.

정의

체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, 영어: simple Lie algebra)라고 한다.^:32

• $𝔤$의 리 대수 아이디얼은 $\{0\}$과 $𝔤$ 전체 밖에 없다.
• $𝔤$는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, $[x,y]\ne 0$인 $x,y\in 𝔤$가 존재한다.

$K$의 표수가 0이라고 하고, $𝔤$가 $K$ 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.

• $𝔤$의 가해(영어: solvable) 아이디얼은 $\{0\}$밖에 없다. 즉, $𝔤$의 근기(영어: radical)가 $\sqrt{𝔤}=\{0\}$이다.^:32
• $𝔤$의 아벨 아이디얼은 $\{0\}$밖에 없다.
• $𝔤$는 단순 리 대수들의 직합이다.
• (카르탕 반단순성 조건 영어: Cartan’s criterion for semisimplicity) $𝔤$의 킬링 형식 $K(x,y)={\mathrm{tr}}_K\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y)$는 비퇴화 쌍선형 형식이다.^{:50, Theorem 1.45}

반단순 리 군

반단순 리 군(半單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.^:105 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

분류

복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 $A_n$, $B_n$, $C_n$, $D_n$, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.

복소수 단순 리 대수

복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.

• ${𝔞}_k=𝔰𝔩(k+1,ℂ)=𝔰𝔲(k+1)\otimes ℂ$, $k=1,2,\dots$ (복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수)
• ${𝔟}_k=𝔰𝔬(2k+1,ℂ)$, $k=2,3,\dots$ (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
• ${𝔠}_k=𝔰𝔭(2k,ℂ)$, $k=2,3,\dots$ (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수)
• ${𝔡}_k=𝔰𝔬(2k,ℂ)$, $k=4,5,\dots$ (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
• 𝖊₆, 𝖊₇, 𝖊₈
• 𝖋₄
• 𝖌₂

이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

실수 단순 리 대수

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 $𝔤$의 경우, 우선 그 대수적 폐포 $\overline{K}$ 위의 대수 $𝔤{\otimes }_K\overline{K}$를 분류한 뒤, 이를 $\overline{K}$에서 $K$로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체 $K=ℝ$의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화(영어: complexification) $𝔤\mapsto 𝔤\otimes ℂ$라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 실수 형식(영어: real form)이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

목록

복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.

복소수 리 대수	차원	실수 리 대수	로마 숫자 표기	다른 이름	극대 콤팩트 부분 리 대수
An	$n^2+2n$	An(−n2−2n) (콤팩트)		$𝔰𝔲(n+1;ℝ)$	$𝔰𝔲(n+1)$
		An(n) (분할)	AⅠ	$𝔰𝔩(n+1;ℝ)$	$𝔬(n+1)$
		An(−n−2)	AⅡ	$𝔰𝔩(m;ℍ)$, ${𝔰𝔲}^{*}(2m)$ ($2m-1=n$)	$𝔲𝔰𝔭(2m)$
			AⅢ	$𝔰𝔲(p,q)$ ($p+q=n+1$)	$𝔰𝔲(p)\oplus 𝔰𝔲(q)\oplus 𝔲(1)$
Bn	$2n^2+n$	Bn(−2n2−n) (콤팩트)		$𝔬(2n+1;ℝ)$	$𝔬(2n+1)$
		Bn(n) (분할)	BⅠ	$𝔬(n,n+1;ℝ)$	$𝔬(n)\oplus 𝔬(n+1)$
			BⅡ	$𝔬(p,q+1;ℝ)$ ($p+q=n$)	$𝔬(p)\oplus 𝔬(q)$
Cn	$2n^2+n$	Cn(−2n2−n) (콤팩트)		$𝔲𝔰𝔭(2n)$, $𝔲(n;ℍ)$	$𝔲𝔰𝔭(2n)$
		Cn(n) (분할)	CⅠ	$𝔰𝔭(2n;ℝ)$	$𝔰𝔲(n)\oplus 𝔲(1)$
			CⅡ	$𝔲𝔰𝔭(2p,2q)$ ($p+q=n$)	$𝔲𝔰𝔭(2p)\oplus 𝔲𝔰𝔭(2q)$
Dn	$2n^2-n$	Dn(−2n2+n) (콤팩트)		$𝔬(2n;ℝ)$	$𝔬(2n)$
		Dn(n) (분할)	DⅠ	$𝔬(n,n;ℝ)$	$𝔬(n)\oplus 𝔬(n)$
			DⅡ	$𝔬(p,q;ℝ)$ ($p+q=2n$)	$𝔬(p)\oplus 𝔬(q)$
		Dn(−n)	DⅢ	${𝔬}^{*}(2n)$	$𝔰𝔲(n)\oplus 𝔲(1)$
E6	78	E6(−78) (콤팩트)			${𝔢}_6$
		E6(6) (분할)	EⅠ		$𝔰𝔲(8)$
		E6(2)	EⅡ		$𝔰𝔲(6)\oplus 𝔰𝔲(2)$
		E6(−14)	EⅢ		$𝔬(10)\oplus 𝔲(1)$
		E6(−26)	EⅣ		${𝔣}_4$
E7	133	E7(−133) (콤팩트)			${𝔢}_7$
		E7(7) (분할)	EⅤ		$𝔰𝔲(8)$
		E7(−5)	EⅥ		$𝔬(12)\oplus 𝔰𝔲(2)$
		E7(−25)	EⅦ		${𝔢}_6\oplus 𝔲(1)$
E8	248	E8(−248) (콤팩트)			${𝔢}_8$
		E8(8) (분할)	EⅧ		$𝔬(16)$
		E8(−24)	EⅨ		${𝔢}_7\oplus 𝔰𝔲(2)$
F4	52	F4(−52) (콤팩트)			${𝔣}_4$
		F4(4) (분할)	FⅠ		$𝔰𝔭(3)\oplus 𝔰𝔲(2)$
		F4(−20)	FⅡ		$𝔬(9)$
G2	14	G2(−14) (콤팩트)			${𝔤}_2$
		G2(2) (분할)	GⅠ		$𝔰𝔲(2)\oplus 𝔰𝔲(2)$

위 표에서,

• $n$은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
• $A_{n(k)}$과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 $(p,q)$일 때, $k=p-q$이다. 즉, $k$는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 $n=k$이며, 콤팩트 형식의 경우 $k$는 −1 × 리 대수의 차원이다.

위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.

• $𝔰𝔩(2;ℂ)\cong 𝔬(3;ℂ)$ (3차원 회전군)
  • $𝔰𝔲(2)\cong 𝔰𝔩(1;ℍ)\cong 𝔬(3;ℝ)$
  • $𝔰𝔩(2;ℝ)\cong 𝔰𝔲(1,1)\cong 𝔬(1,2)$
• $𝔰𝔭(4;ℂ)\cong 𝔬(5;ℂ)$ (5차원 회전군)
  • $𝔲𝔰𝔭(4)\cong 𝔬(5;ℝ)$
  • $𝔲𝔰𝔭(2,2)\cong 𝔬(1,4)$
  • $𝔰𝔭(4;ℝ)\cong 𝔬(2,3)$
• $𝔰𝔩(4;ℂ)\cong 𝔬(6;ℂ)$ (6차원 회전군)
  • $𝔰𝔲(4)\cong 𝔬(6;ℝ)$
  • $𝔰𝔩(2;ℍ)\cong 𝔬(5,1)$
  • $𝔰𝔲(2,2)\cong 𝔬(4,2)$
  • $𝔰𝔩(4;ℝ)\cong 𝔬(3,3)$
  • $𝔰𝔲(1,3)\cong {𝔬}^{*}(6)$
• ${𝔬}^{*}(8)\cong 𝔬(2,6)$ (8차원 회전군)

또한, $𝔬(4)\cong 𝔰𝔲(2{)}^{\oplus 2}$는 단순 리 대수가 아니다.

역사

복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다. 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(러시아어: Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер)가 1939년에 분류하였다.

같이 보기

• 리 대수
• 근계
• 리 대수의 표현

외부 링크

• “Lie algebra, semi-simple” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple lie algebra” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Simple lie algebra” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple Lie group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Semisimple Lie algebra” (영어). 《nLab》. 
• “Simple Lie algebra” (영어). 《nLab》. 
• “Semisimple Lie group” (영어). 《nLab》.