렙셰츠 초평면 정리

대수기하학에서 렙셰츠 초평면 정리(Лефшец超平面定理, 영어: Lefshetz hyperplane theorem)는 복소수 사영 대수다양체의 위상수학과 그 초평면 단면의 위상수학 사이의 관계에 대한 정리이다.

정의

$X\subset ℂP^N$이 복소수체 위의 $n$차원 사영 대수다양체라고 하고, $Y$가 $X$와 어떤 초평면의 교집합이라고 하고, $X\setminus Y$가 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 렙셰츠 초평면 정리에 따라, 다음 명제들이 성립한다.

• 특이 호몰로지 군 사이의 자연스러운 군 준동형 $H_k(Y;\mathbb{Z})\to H_k(X;\mathbb{Z})$는 $k<n-1$일 때 동형사상이고, $k=n-1$일 때 전사 함수이다.
  • 즉, 다시 말해 상대 호몰로지 군은 $H_k(X,Y;\mathbb{Z})=0$ ($k<n$)이다.
• 특이 코호몰로지 군 사이의 자연스러운 군 준동형 $H^k(X;\mathbb{Z})\to H^k(Y;\mathbb{Z})$는 $k<n-1$일 때 동형사상이고, $k=n-1$일 때 전사 함수이다.
  • 즉, 다시 말해 상대 코호몰로지 군은 $H^k(X,Y;\mathbb{Z})=0$ ($k<n$)이다.
• 호모토피 군 사이의 자연스러운 군 준동형 ${\pi }_k(Y)\to {\pi }_k(X)$는 $k<n-1$일 때 동형사상이고, $k=n-1$일 때 전사 함수이다.
  • 즉, 다시 말해 상대 호모토피 군은 ${\pi }_k(X,Y)=0$ ($k<n$)이다.

역사

솔로몬 렙셰츠가 1924년에 증명하였다.

외부 링크

• “Lefschetz theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.