로렌즈 방정식

파일:Lorenz attractor.svg

로렌즈 끌개

파일:A Lorenz system.ogv

로렌즈 끌개의 시간 변화

동역학계 이론에서 로렌즈 방정식(Lorenz方程式, 영어: Lorenz equation)은 3차원 공간상에서 대기의 대류를 나타내는 간단한 비선형 동역학계이다. 이상한 끌개의 대표적인 예이다.

정의

로렌즈 방정식은 $x(t),y(t),z(t)$ 세 변수에 대한 1차 비선형 연립 상미분 방정식이며, 세 개의 매개변수 $\sigma ,\rho ,\beta$에 의존한다. 다음과 같다.

$\dot{x}=\sigma (y-x)$

$\dot{y}=x(\rho -z)-y$

$\dot{z}=xy-\beta z$

로렌즈의 원래 논문에서 사용된 매개변수 값들은 다음과 같다.

$\sigma =10$

$\beta =8/3$

$\rho =28$

이 값에서 로렌즈 방정식은 혼돈적인 성질을 보이며, 로렌즈 끌개라는 야릇한 끌개를 가진다.

성질

대칭

로렌즈 방정식은 다음과 같은 대칭을 가진다.

$(x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)$

평형점과 불변 집합

$\sigma \ne 0$이며 $\beta (\rho -1)>0$일 경우, 로렌즈 방정식의 평형점은 다음과 같이 세 개가 있다.

$(x,y,z)=(\sqrt{\beta (\rho -1)},\sqrt{\beta (\rho -1)},(\rho -1))$

$(x,y,z)=(-\sqrt{\beta (\rho -1)},-\sqrt{\beta (\rho -1)},(\rho -1))$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

만약 $\sigma \ne 0$이지만 $\beta (\rho -1)<0$일 경우, 마지막 하나의 평형점만이 존재한다.

로렌즈 방정식에서, z축 $\{(0,0,z):z\in ℝ\}$은 불변 집합이다. z축 위에서 로렌즈 방정식은

$\dot{z}=-\beta z$

가 되므로, $\beta >0$이라면 이 경우 모든 초기 조건은 원점 $(0,0,0)$으로 지수적으로 수렴한다.

분기

파일:Lorenz attractor boxed.svg

로렌즈 끌개는 3차원 속의 곡면 속에 존재하며, 프랙털 모양을 하고 있다.

$(\beta ,\sigma )=(8/3,10)$으로 고정시키고, $\rho$의 값을 변화시킨다면, 로렌즈 방정식은 다음과 같은 성질을 보인다.

• $\rho \in (0,1)$일 경우, 원점은 유일한 안정적 평형점이다. 모든 궤도는 원점으로 수렴한다.
• $\rho =1$에서 갈퀴 분기가 일어나며, 원점은 세 개의 평형점으로 분기한다. 원점은 이제 불안정 평형점이 되지만, 나머지 두 평형점은 안정적이다. $1<\rho <1.346$일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 안정적 평형점으로 수렴한다.
• $\rho =1.346$에서 호프 분기가 일어나며, 모든 평형점이 불안정해진다. 대신 두 개의 안정적인 극한 주기 궤도 $C_{+}$, $C_{-}$이 생기며, $1.346<\rho <13.926$일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 극한 주기 궤도 가운데 더 가까운 쪽으로 수렴한다.
• $13.926<\rho <24.06$일 경우, 로렌즈 방정식은 일시적 혼돈(영어: transient chaos)을 보인다. 즉, 두 안정적 극한 주기 궤도 $C_{+}$, $C_{-}$가 존재하며 거의 모든 궤도는 이 둘 가운데 하나로 수렴하지만, 일부 초기 조건에 대하여 어느 쪽으로 수렴하는지 여부는 초기 조건에 대하여 민감하게 의존한다.
• $24.06<\rho <24.74$일 경우, 로렌즈 방정식은 일부 초기 조건에 대하여 혼돈을 보이기 시작한다. 그러나 두 극한 주기 궤도 $C_{\pm }$는 여전히 안정적이다.
• $\rho >\sigma \frac{\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}\approx 24.74$이게 되면 두 극한 주기 궤도는 더 이상 안정적이지 않으며, 거의 모든 초기 조건에 대하여 혼돈이 발생한다.
  • 특히, 로렌즈가 연구한 경우인 $\rho =28$인 경우는 혼돈적이다. 이 경우, 로렌즈 끌개의 하우스도르프 차원은 약 2.06 ± 0.01이다.
  • 그러나 $\rho >24.74$인 경우에도, 특수한 $\rho$의 값에서는 혼돈이 발생하지 않을 수 있다. 예를 들어, $\rho =100$인 경우 안정적 극한 주기 궤도가 존재한다.
• 매우 큰 $\rho$의 값에 대하여 로렌즈 방정식은 다시 비혼돈적이게 된다. 구체적으로, $\rho >313$일 경우 거의 모든 궤도는 극한 주기 궤도로 수렴하게 된다.

다양한 매개 변수 값에서, 로렌즈 끌개는 다음과 같은 모양을 가진다. 여기서는 $\beta =8/3$, $\sigma =10$으로 고정시키고, $\rho$ 값을 바꾼다.

	파일:Lorenz Ro13-200px.png		섬네일을 만드는 중 오류 발생:	파일:Lorenz Ro28-200px.png
ρ=9	ρ=13	ρ=14	ρ=15	ρ=28

역사

1963년 미국의 기상학자인 에드워드 노턴 로렌즈가 〈결정론적 비주기 흐름〉(영어: Deterministic nonperiodic flow)이라는 논문에서 이 방정식을 발표하였다. 로렌즈 방정식의 유도는 프랑스 물리학자 앙리 베나르(Henri Bénard) (1874–1939)와 영국 물리학자 존 윌리엄 스트럿 레일리(1842–1919)의 이론들이 기초가 된다. 이 방정식의 초기 조건에 대한 민감성의 발견은 혼돈 이론의 시초로 여겨진다.

각주

• Sparrow, C. (1982). 《The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors》 (영어). Applied Mathematical Sciences 41. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5767-7. ISBN 978-0-387-90775-8. ISSN 0066-5452. 
• Viana, M. (2000). “What’s new on Lorenz strange attractors?” (PDF) (영어). 《The Mathematical Intelligencer》 22: 6–19. doi:10.1007/BF03025276. 
• Yorke, J. A. and Yorke, E. D. "Metastable Chaos: The Transition to Sustained Chaotic Oscillation in a Model of Lorenz." J. Stat. Phys. 21, 263-277, 1979.
• Williams, R. F. "The Structure of Lorenz Attractors." Publ. Math. IHÉS 50, 321-347, 1979.
• Rand, D. "The Topological Classification of Lorenz Attractors." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 451-460, 1978.

같이 보기

• 로지스틱 사상

외부 링크

• “Lorenz attractor” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lorenz equations” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lorenz attractor” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.