매듭군

수학에서 매듭은 3차원 유클리드 공간에 원을 매장하는 것이다. 매듭 $K$의 매듭군은 ${ℝ}^3$에서 $K$의 여공간의 기본군 ${\pi }_1({ℝ}^3\setminus K)$이다.

다른 관례로는 매듭이 3차원 초구에 포함된 것으로 간주하며, 이 경우 매듭군은 $S^3$에서 여공간의 기본군이다.

성질

두 개의 같은 매듭은 동형 매듭군을 가지므로 매듭군은 매듭 불변량이며 특정 쌍의 같지 않은 매듭을 구별하는 데 사용할 수 있다. 이는 두 매듭 사이의 동형이 항등사상과 동위이고 한 매듭을 다른 매듭으로 사상하는 ${ℝ}^3$의 자기 위상동형사상이기 때문이다. 이러한 위상동형은 매듭의 여공간의 동형으로 제한되며, 이러한 제한된 동형은 기본군의 동형을 유도한다. 그러나 두 개의 같지 않은 매듭이 동형 매듭군을 가질 수 있다(아래 예 참조).

매듭군의 아벨화는 항상 무한 순환군 $\mathbb{Z}$와 동형이다. 이는 매듭군의 아벨화가 쉽게 계산될 수 있는 첫 번째 호몰로지 군과 일치하기 때문이다.

매듭군(또는 일반적으로 유향 연환의 기본군)은 Wirtinger 표현에서 비교적 간단한 알고리즘으로 계산할 수 있다.

예

• 풀린매듭은 $\mathbb{Z}$와 동형인 매듭군을 가진다.
• 세잎매듭은 꼬임군 $B_3$와 동형인 매듭군을 가진다. 이 군은 다음 표시를 갖는다.

$⟨x,y\mid x^2=y^3⟩$ 또는 $⟨a,b\mid aba=bab⟩$

• $(p,q)$-원환면 매듭의 매듭군은 다음 표시를 갖는다.

$⟨x,y\mid x^p=y^q⟩$

• 8자매듭의 매듭군은 다음 표시를 갖는다.

$⟨x,y\mid yx{y}^{-1}xy=xy{x}^{-1}yx⟩$

• 사각매듭과 할머니 매듭은 동형인 매듭군을 갖지만 두 매듭은 동일하지 않다.

같이 보기

• 연환군

추가 자료

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), " 매듭과 연환 군 ", 수학 백과사전, Springer, ISBN 978-1556080104