꼬임군 (위상수학)

위상수학에서 꼬임군(-群, 영어: braid group)은 주어진 개수의 실을 꼬은 모양들로 구성된 군이다. 대칭군의 일반화로 볼 수 있다.

정의

n가닥의 꼬임군 $Braid (n)$ 은 다음과 같은 표시를 갖는 유한생성군이다. 꼬임군의 원소들을 꼬임(영어: braid)이라고 한다.

Braid (n) = ⟨ σ_{1}, \dots, σ_{n - 1} | σ_{i} σ_{i + 1} σ_{i} = σ_{i + 1} σ_{i} σ_{i + 1}, σ_{i} σ_{j} = σ_{j} σ_{i} ⟩

첫 번째 관계에서는 $i = 1, 2, \dots, n - 2$ 이고, 두 번째 관계에서는 $| i - j | \geq 2$ 이다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. $σ_{i}$ 를 $i$ 번째 가닥과 $i + 1$ 번째 가닥을 한 번 꼬는 것으로 정의하자. 예를 들어, $Braid (4)$ 의 생성원은 다음과 같다.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:	파일:Braid s2.png	파일:Braid s3.png
σ₁	σ₂	σ₃

이 경우 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 연산이다.

파일:Braid s3.png	·	파일:Braid s2.png	=	파일:Braid s3s2.png
$σ_{3}$	·	$σ_{2}$	=	$σ_{3} σ_{2}$

이 경우, 군 표시에서의 관계

σ_{i} σ_{i + 1} σ_{i} = σ_{i + 1} σ_{i} σ_{i + 1}

σ_{i} σ_{j} = σ_{j} σ_{i} (| i - j | \geq 2)

는 꼬임의 합성의 호모토피적 동치 관계이다.

무한 꼬임군

꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

Braid (n) ↪ Braid (n + 1)

σ_{i}^{(n)} \mapsto σ_{i}^{(n + 1)}

이렇게 하여, 귀납적 극한을 취하면 무한 꼬임군 $Braid (\infty)$ 을 얻는다.

Braid (\infty) = \underset{n}{\lim_{\to}} Braid (n)

드오르누아 순서

꼬임군 $Braid (n)$ 위에는 드오르누아 순서(영어: Dehornoy order)라는 전순서가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에 대하여 양인 원소들은 $σ_{1}, \dots, σ_{n - 1}$ 들 및 이들의 역원의 곱인 문자열로 나타내었을 때, 적어도 한 $i \in {1, \dots, n - 1}$ 가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.

문자열은 $σ_{i}$ 를 포함한다.
모든 $j < i$ 에 대하여, 문자열은 $σ_{j}$ 를 포함하지 않는다.
모든 $j \leq i$ 에 대하여, 문자열은 $σ_{j}^{- 1}$ 를 포함하지 않는다.

이러한 원소들의 집합을 $P$ 라고 하면, $P P \subseteq P$ 이며, 꼬임군은

Braid (n) = P ⊔ P^{- 1} ⊔ {1}

이다.

성질

꼬임군의 모든 원소는 항등원이 아니라면 무한한 차수를 갖는다. 모든 $n \geq 2$ 에 대하여, $Braid (n)$ 은 두 개의 원소로 생성되는 자유군을 부분군으로 갖는다.

몫군

꼬임군의 아벨화는 무한 순환군이다.

H_{1} (Braid (n), ℤ) = ℤ

구체적으로, 이는 다음과 같다.

σ_{i} \mapsto 1 (i = 1, \dots, n - 1)

σ_{i}^{- 1} \mapsto - 1 (i = 1, \dots, n - 1)

꼬임군은 대칭군을 다음과 같이 몫군으로 갖는다.

Braid (n) ↠ Sym (n) = Sym ({1, 2, \dots, n})

σ_{i} \mapsto (i, i + 1) (i = 1, \dots, n - 1)

σ_{i}^{- 1} \mapsto (i, i + 1) (i = 1, \dots, n - 1)

중심

$n \geq 3$ 일 때, 꼬임군 $Braid (n)$ 의 중심은 다음과 같은 원소로 생성되는 무한 순환군이다.^[1]^:§4.3

{(σ_{1} (σ_{2} σ_{1}) \dots (σ_{n - 1} σ_{n - 2} \dots σ_{1}))}^{2}

$n \leq 2$ 일 경우, 꼬임군은 아벨 군이므로 군 전체가 중심이다.

예

낮은 차수의 꼬임군은 다음과 같다.

꼬임군	동형인 군
$Braid (0)$	자명군
$Braid (1)$	자명군
$Braid (2)$	무한 순환군 $ℤ$
$Braid (3)$	세잎매듭의 매듭군 $π_{1} (S^{3} ∖ 3_{1})$ , 모듈러 군의 중심 확대

3차 꼬임군

3가닥의 꼬임군 $Braid (3)$ 은 가장 낮은 가닥수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 세잎매듭 3₁의 매듭군 $π_{1} (S^{3} ∖ 3_{1})$ 과 동형이며, 또 모듈러 군 $PSL (2; ℤ)$ 의 중심 확대이다. 이 경우 다음과 같은 가환그림이 존재한다.

파일:Braid-modular-group-cover.svg

여기서 $\overline{SL (2; 𝐑)}$ 은 $SL (2; ℝ)$ 의 범피복군이다. 모듈러 군은 중심이 없으므로, 따라서 모듈러 군은 $Braid (n)$ 의 그 중심에 대한 몫군과 동형이다.

PSL (2; ℤ) = Braid (n) / Z (Braid (n))

같이 보기

매듭 이론

각주

↑ “Basic results on braid groups” (영어). arXiv:1010.0321.

Kassel, Christian; Vladimir Turaev (2008). 《Braid groups》 (영어). Springer. ISBN 0-387-33841-1.
Deligne, Pierre (1972). “Les immeubles des groupes de tresses généralisés” (프랑스어). 《Inventiones Mathematicae》 17 (4): 273–302. doi:10.1007/BF01406236. ISSN 0020-9910. MR 0422673. Zbl 0238.20034.
Birman, Joan; Tara E. Brendle (2005). “Braids: a survey” (영어). arXiv:math/0409205. Bibcode:2004math......9205B.
Carlucci, Lorenzo; Patrick Dehornoy, Andreas Weiermann (2011). “Unprovability results involving braids” (영어). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 102 (1): 159–192. arXiv:0711.3785. Bibcode:2007arXiv0711.3785C. doi:10.1112/plms/pdq016. Zbl 1225.03079.

외부 링크

Chernavskii, A.V. (2001). “Braid theory” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Braid group” (영어). 《nLab》.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid word” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid index” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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[1] “Basic results on braid groups” (영어). arXiv:1010.0321.

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