멱 규칙

미적분학에서 멱 규칙(영어: power rule)은 멱함수의 도함수를 구하는 공식이다.

정의

멱 규칙에 따르면, 멱함수 $x^n$ ($n\in ℝ$)의 도함수는 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

멱함수의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같으며, 이는 멱 규칙과 동치이다. (여기서 $C$는 적분 상수이다.)

$\int x^{n}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{n+1}}{n+1}+C& n\ne -1\\ \ln x+C& n=-1\end{array}$

보다 일반적으로, 멱함수의 고계 도함수를 구하는 공식은 다음과 같다. (여기서 $n^{\underset{\_}{k}}$는 하강 계승이다.)

$\frac{d^k}{d{x}^k}{x}^n=n^{\underset{\_}{k}}{x}^{n-k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)x^{n-k}$

미분은 선형성을 가지기 때문에, 멱 규칙으로부터 다항식의 도함수를 구하는 공식을 유도할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k=\sum _{k=0}^{n}k{a}_k{x}^{k-1}$

마찬가지로 다항식의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같다.

$\int \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^{k}dx=\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}{x}^{k+1}+C$

증명

자연수 지수의 경우

자연수 $n$에 대한 명제는 수학적 귀납법으로 증명 가능하다. 우선 $n=0$인 경우는 상수 함수의 미분이 0이라는 명제가 되므로 자명하게 성립한다. 이제 어떤 $n$에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 곱 규칙에 따라, $n+1$에 대한 명제

$\frac{d}{dx}{x}^{n+1}=\frac{d}{dx}(x\cdot x^n)=1\cdot x^n+x\cdot n{x}^{n-1}=(n+1)x^n$

역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 멱 규칙은 임의의 자연수에 대하여 성립한다. 자연수 지수의 멱 규칙은 이항 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수도 있다.

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{x}^n& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^n-x^n}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{n{x}^{n-1}\Delta x+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}(\Delta x{)}^2+\cdots nx(\Delta x{)}^{n-1}+(\Delta x{)}^n}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}\Delta x+\cdots +nx(\Delta x{)}^{n-2}+(\Delta x{)}^{n-1})=n{x}^{n-1}\end{array}$

실수 지수의 경우

음의 정수 지수 $-n$에 대한 명제는 자연수의 경우와 몫의 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

$\frac{d}{dx}{x}^{-n}=\frac{d}{dx}\frac{1}{x^n}=-\frac{n{x}^{n-1}}{x^{2n}}=-n{x}^{-n-1}$

유리수 지수 $m/n$에 대한 명제는 정수의 경우와 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

$m{x}^{m-1}=\frac{d}{dx}{x}^m=\frac{d}{dx}(x^{m/n}{)}^n=n(x^{m/n}{)}^{n-1}\frac{d}{dx}{x}^{m/n}$

실수 지수 $r$에 대한 명제는 지수 함수 및 로그 함수의 미분과 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

$\frac{d}{dx}{x}^r=\frac{d}{dx}{e}^{r\ln x}=e^{r\ln x}\frac{r}{x}=r{x}^{r-1}$

예

예를 들어, 낮은 양의 정수 차수의 멱함수의 도함수 공식은 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}x=1$

$\frac{d}{dx}{x}^2=2x$

$\frac{d}{dx}{x}^3=3x^2$

$\frac{d}{dx}{x}^4=4x^3$

$\frac{d}{dx}{x}^5=5x^4$

자연수가 아닌 경우에 대한 몇 가지 예시는 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{d}{dx}\frac{1}{x^2}=-\frac{2}{x^3}$

$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}\sqrt[3]{x}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

$\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$

$\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$

다항식의 도함수를 구하는 예시는 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}(x^3-3x+1)=3x^2-3$

$\frac{d}{dx}(4x^5-2x^3+x^2)=20x^4-6x^2+2x$

같이 보기

• 미분법
• 곱 규칙
• 몫 규칙

외부 링크

• “Proof of the power rule” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Power rule for derivatives” (영어). 《ProofWiki》.