정규화 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다.

정의

무어 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 $𝒜$
• 준단체 대상 $M_{\bullet }:\underset{\mathrm{pre}}{\overset{\mathrm{op}}{\mathrm{△}}}\to 𝒜$

이제, 다음을 정의하자.

${\mathrm{C}}_n(M)=M_n(n\in \mathbb{N})$

${\partial }_n=\sum _{i=0}^n(-{)}^i{\partial }_{n,i}{M}_i(n\in \mathbb{N})$

그렇다면, $({\mathrm{C}}_{\bullet }(M),{\partial }_{\bullet })$은 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 $M_{\bullet }$의 무어 사슬 복합체(영어: Moore chain complex)라고 한다.^{:45, Definition 1.6.2}

증명:

편의상 집합

$S=\{0,\dots ,n-1\}\times \{0,\dots ,n\}$

및

$S_{+}=\{(i,j)\in S:i<j\}$

$S_{-}=\{(i,j)\in S:i\ge j\}$

을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수

$S_{+}\to S_{-}$

$(j,i+1)\mapsto (i,j)$

가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}{\partial }_{n-1}\circ {\partial }_n& =\sum _{(i,j)\in S}{\partial }_{n-1,i}\circ {\partial }_{n,j}\\ & =\sum _{(i,j)\in S_{+}}(-{)}^{i+j}{\partial }_{n-1,i}\circ {\partial }_{n,j}+\sum _{(i,j)\in S_{-}}(-{)}^{i+j}{\partial }_{n-1,i}\circ {\partial }_{n,j}\\ & =\sum _{(i,j)\in S_{-}}((-{)}^{j+i-1}{\partial }_{n-1,i}\circ {\partial }_{n,j}+(-{)}^{i+j}{\partial }_{n-1,i}\circ {\partial }_{n,j})=0\end{array}$

사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 $𝒜$
• $𝒜$ 속의 자연수 등급 사슬 복합체

  $\cdots \to C_2\stackrel{{\partial }_2}{\to }{C}_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0\to 0$

이제, $C_{\bullet }$에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.

$M(n)=C_n$

$M({\partial }_{n,i}):C_n\to C_{n-1}$

$M({\partial }_{n,i})=\{\begin{array}{cc}0& 0\le i\le n-1\\ (-{)}^n{\partial }_n& i=n\end{array}$

퇴화 복합체와 정규화 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 $𝒜$
• 단체 대상 $M_{\bullet }:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to 𝒜$

이제, 다음을 생각하자.

$f_n:\coprod _{i=0}^{n-1}{s}_{n,i}:M_{n-1}^{\oplus n}\to M_n$

$g_n:\prod _{i=0}^{n-1}{\partial }_{n,i}:M_n\to M_{n+1}^{\oplus n}$

(※ $g_n$에서, 합이 $i=n$을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

${\mathrm{D}}_{\bullet }(M)=\mathrm{im}{f}_n$

${\mathrm{N}}_{\bullet }(M)=\ker g_n$

그렇다면, $({\mathrm{D}}_{\bullet }(M),{\partial }_{\bullet })$와 $({\mathrm{N}}_{\bullet }(M),{\partial }_{\bullet })$ 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. ${\mathrm{D}}_{\bullet }(M)$을 퇴화 사슬 복합체(退化사슬複合體, 영어: degenerate chain complex)라고 하며, ${\mathrm{N}}_{\bullet }(M)$을 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)라고 한다.

퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

${\partial }_{n+1}\circ s_{n,i}=\sum _{j=0}^n{s}_{n,j}\circ {\varphi }_{i,j}$

여기서 ${\varphi }_{i,j}$는 임의의 사상이다.

그런데

$\begin{array}{cc}{\partial }_{n+1}\circ \circ s_{n,i}& =\sum _{j=0}^{n+1}(-{)}^j{\partial }_{n+1,j}\circ s_{n,i}\\ & =\sum _{j=0}^{i-1}(-{)}^j{\partial }_{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i}^{i+1}(-{)}^j{\partial }_{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-{)}^j{\partial }_{n+1,j}\circ s_{n,i}\\ & =\sum _{j=0}^{i-1}(-{)}^j{s}_{n-1,i-1}\circ {\partial }_{n,j}+\sum _{j=i}^{i+1}(-{)}^j+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-{)}^j{s}_{n-1,i}\circ {\partial }_{n,j-1}\\ & =s_{n-1,i-1}\circ (\sum _{j=0}^{i-1}(-{)}^j{\partial }_{n,j})-s_{n-1,i}\circ (\sum _{j=i}^n(-{)}^j{\partial }_{n,j})\\ \end{array}$

이다.

정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:

$g_{n+1}$의 핵의 경계가 $g_n$의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

${\partial }_{n,i}\circ {\partial }_{n+1}=\sum _{j=1}^n{\varphi }_{i,j}\circ {\partial }_{n+1,j}(j<n)$

여기서 ${\varphi }_{i,j}$는 임의의 사상이다.

그런데

$\begin{array}{cc}{\partial }_{n,i}\circ {\partial }_{n+1}& =\sum _{j=0}^{n+1}{\partial }_{n,i}\circ {\partial }_{n+1,j}\\ & =(\sum _{j=0}^n{\partial }_{n,i}\circ {\partial }_{n+1,j})+(-{)}^{n+1}{\partial }_{n,i}\circ {\partial }_{n+1,n+1}\\ & =(\sum _{j=0}^n{\partial }_{n,i}\circ {\partial }_{n+1,j})+(-{)}^{n+1}{\partial }_{n,n}\circ {\partial }_{n+1,i}\\ \end{array}$

이다.

준단체 대상에 대응하는 단체 대상

우선, 다음 기호를 정의하자.

• $\mathrm{Surj}(n,m)\subseteq {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(n,m)$은 모든 전사 증가 함수 $\{0,1,\dots ,n\}\twoheadrightarrow \{0,1,\dots ,m\}$ ($0\le m\le n$)들의 집합이다.

아벨 범주 $𝒜$ 속의 준단체 대상

$C:\underset{\mathrm{pre}}{\overset{\mathrm{op}}{\mathrm{△}}}\to 𝒜$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 $𝒜$ 위의 단체 대상을 정의할 수 있다.

$\sigma (C_n)=\underset{m=0}{\overset{n}{⨁}}\underset{\mathrm{Surj}(n,m)}{⨁}{C}_m$

즉, 각 $\varphi \in \mathrm{Surj}(n,m)$에 대하여 포함 사상

${\beta }_{\varphi }:C_m\hookrightarrow \sigma (C_n)$

이 있다.

그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 $\mathrm{△}$ 속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상

$f\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)$

에 대하여,

$\sigma (f):\sigma (C_n)\to \sigma (C_m)$

은 다음과 같다.

$\sigma (f)=\coprod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{g\in \mathrm{Surj}(n,k)}{\iota \circ \varphi =g\circ f}}{\beta }_{\varphi }\circ C(\iota )$

여기서,

• $\iota \circ \varphi =g\circ f$은 $(\iota ,\varphi )$가 $g\circ f\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,k)$의, 단사 함수($\iota :\{0,\dots ,n^{\prime }\}\hookrightarrow \{0,\dots ,k\}$)와 전사 함수($\varphi :\{0,\dots ,m\}\twoheadrightarrow \{0,\dots ,n^{\prime }\}$)로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
• $C(\iota ):C_k\to C_{n^{\prime }}$은 함자 $C:\underset{\mathrm{pre}}{\overset{\mathrm{op}}{\mathrm{△}}}\to 𝒜$ 아래의, $\iota \in {\mathrm{hom}}_{{\mathrm{△}}_{\mathrm{pre}}}(n^{\prime },k)$의 상이다.

성질

짧은 완전열

아벨 범주 $𝒜$ 속의 단체 대상 $M_{\bullet }$에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to {\mathrm{D}}_{\bullet }(M)\to {\mathrm{C}}_{\bullet }(M)\to {\mathrm{N}}_{\bullet }(M)\to 0$

즉,

${\mathrm{N}}_{\bullet }(M)\cong \frac{{\mathrm{C}}_{\bullet }(M)}{{\mathrm{D}}_{\bullet }(M)}$

이다.

정규 사슬 복합체의 표준 분해

아벨 범주 $𝒜$ 속의 단체 대상 $M_{\bullet }$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

$i_n:\underset{m=0}{\overset{n}{⨁}}\underset{\mathrm{Surj}(n,m)}{⨁}{\mathrm{N}}_k(M)\cong {\mathrm{C}}_n(M)$

이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

$i_n=\coprod _{m=0}^n\coprod _{f\in \mathrm{Surj}(n,m)}M(f^{\mathrm{op}})$

여기서

$M(f^{\mathrm{op}}):{\mathrm{N}}_m(M)\to M_n$

은 함자 $M:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to 𝒜$ 아래 $f^{\mathrm{op}}\in {\mathrm{hom}}_{{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}}(m^{\mathrm{op}},n^{\mathrm{op}})$의 상이다.

돌트-칸 대응

아벨 범주 $𝒜$ 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

$\mathrm{s}(𝒜)\leftrightarrows {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$

여기서

• $\mathrm{s}(𝒜)$는 $𝒜$ 위의 단체 대상의 범주이다.
• ${\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$는 $𝒜$ 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.

• $\mathrm{N}:\mathrm{s}(𝒜)\to {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
• $\Gamma :{\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)\to \mathrm{s}(𝒜)$는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형

$\mathrm{N}\circ \mathrm{\Gamma }\Rightarrow 1_{{\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)}$

$\mathrm{\Gamma }\circ \mathrm{N}\Rightarrow 1_{\mathrm{s}(𝒜)}$

가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.

$\mathrm{N}⊣\mathrm{\Gamma }$

$\mathrm{\Gamma }⊣\mathrm{N}$

모형 구조

돌트-칸 대응을 사용하여, ${\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$ 위의 모형 범주 구조를 $\mathrm{s}(𝒜)$에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 ${\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$와 $\mathrm{s}(𝒜)$ 사이의 퀼런 동치를 이룬다.

이 경우, $\mathrm{s}(𝒜)$의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.

역사

돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트와 다니얼 칸이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.

외부 링크

• “Moore complex” (영어). 《nLab》. 
• “Dold-Kan correspondence” (영어). 《nLab》. 
• “Monoidal Dold-Kan correspondence” (영어). 《nLab》. 
• “Simplicial group” (영어). 《nLab》. 
  • “Model structure on simplicial groups” (영어). 《nLab》. 

• Mathew, Akhil. “The Dold–Kan correspondence” (PDF) (영어). 2016년 9월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 30일에 확인함. 
• Raksit, Arpon (2015년 1월 17일). “The Dold–Kan correspondence” (PDF) (영어). 2017년 9월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 30일에 확인함. 
• de Jong, Johan (2013년 8월 1일). “Simplicial modules” (영어). 《Stacks Project Blog》. 2017년 12월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 7월 30일에 확인함.