단체 집합

호모토피 이론에서 단체 집합(單體集合, 영어: simplicial set)은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다.^[1]^[2]^[3]^[4] 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.

정의

단체 집합은 집합과 함수의 범주 $Set$ 속의 단체 대상, 즉 함자

X_{∙} : △^{op} \to Set

이다. 마찬가지로, 첨가 단체 집합(添加單體集合, 영어: augmented simplicial set)은 $Set$ 속의 첨가 단체 대상, 즉 함자

X_{∙} : △_{+}^{op} \to Set

이다.

여기서 $△$ 은 단체 범주이며, $△_{+}$ 는 첨가 단체 범주이다.

다시 말해, $X_{- 1} = S$ 인 첨가 단체 집합 $X_{∙}$ 은 조각 범주 $Set / S$ 위의 단체 대상과 같다.

연산

범주론적 연산

단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합

\emptyset_{∙} : △^{op} \to Set

\emptyset_{∙} : n \mapsto \emptyset \forall n \in △

이며, 끝 대상은 한원소 공간

1_{∙} : △^{op} \to Set

1_{∙} : n \mapsto {∙} \forall n \in △

이다. (여기서 ${∙}$ 은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

기하학적 실현과 특이 단체

단체 집합의 범주 $s (Set)$ 와 위상 공간의 범주 $Top$ 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

s (Set) \overset{S}{⇆ | \cdot |} Top

| \cdot | ⊣ Sing

여기서 $Sing$ 을 특이 단체 함자(特異單體函子, 영어: singular simplex functor), $| \cdot |$ 을 기하학적 실현 함자(幾何學的實現函子, 영어: geometric realization functor)라고 한다.

특이 단체

위상 공간 $Y$ 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 특이 단체 집합(영어: singular simplicial set) $Sing (Y)$ 는 다음과 같다.

Sing (Y)_{n} = {hom}_{top} (△^{n}, Y)

여기서 $△^{n}$ 은 $n$ 차원 단체이다. 즉, 함자 $Sing (Y)$ 의 $n$ 차 성분은 $Y$ 의 $n$ 차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.

기하학적 실현

단체 집합 $X$ 에 대응하는 기하학적 실현 $| X |$ 는 다음과 같은 위상 공간이다.

| X | = (⨆_{n} X_{n} \times △^{n}) / \sim

여기서 $△^{n}$ 은 $n$ 차원 표준 단체이며, $\sim$ 은

(x, S_{i} (p)) \sim (s_{i} (x), p) \forall p \in △^{n}

(x, D_{i} (p)) \sim (d_{i} (x), p) \forall p \in △^{n}

로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서

d_{i} : {0, 1, \dots, n - 1} \to {0, 1, \dots, n}

는 상이 ${0, 1, \dots, n} ∖ {i}$ 인 유일한 증가 단사 함수이며,

s_{i} : {0, 1, \dots, n} \to {0, 1, \dots, n - 1}

는 $i \in {0, 1, \dots, n}$ 를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. $D_{i} : △^{n} \to △^{n + 1}$ 및 $S_{i} : △^{n} \to △^{n - 1}$ 는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.

단체 호몰로지

단체 집합 $X_{∙}$ 이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자.

C_{n} = ℤ^{\oplus X_{n}}

그렇다면, 이 위에 $\partial_{n, i}$ 및 $s_{n, i}$ 를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, $C_{n}$ 은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체

\partial_{n} : C_{n} \to C_{n - 1}

\partial_{n} = \sum_{i = 0}^{n} \partial_{n, i}

의 호몰로지를 단체 집합 $X$ 의 단체 호몰로지(單體homology, 영어: simplicial homology)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

유리수 계수 다항식 미분 형식

표준 단체

△^{n} = {\vec{t} \in ℝ^{n + 1} : \sum_{i = 0}^{n} t_{i} = 1}

위의 유리수 계수 다항식 미분 형식(영어: rational-coefficient polynomial differential form)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.

ϕ_{i_{0}, i_{1}, \dots, i_{n}} d t_{i_{0}} \land d t_{i_{1}} \land \dots \land d t_{i_{n}} (ϕ_{i_{0}, i_{1}, \dots, i_{n}} \in ℚ [t_{0}, \dots, t_{n}], i_{0} < i_{1} < \dots < i_{n})

이들의 유리수 벡터 공간을 $Ω_{PL} (n)$ 으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이제, 함자

Ω_{PL} : △ \to {CDGA}_{\geq 0}^{op}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$Ω_{PL} : n \mapsto Ω_{PL} (n)$
임의의 증가 함수 $f : {0, 1, \dots, m} \to {0, 1, \dots, n}$ 에 대하여,
$Ω_{PL} (f) : t_{i} \mapsto \sum_{j \in f^{- 1} (i)} t_{j}$

$Ω_{PL} (f) : d t_{i} \mapsto \sum_{j \in f^{- 1} (i)} d t_{j}$

그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자

Ω_{PL} : s (Set) \to {CDGA}_{\geq 0}^{op}

를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 유리수 계수 다항식 미분 형식들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다.

이는 오른쪽 수반 함자

R : {CDGA}_{\geq 0}^{op} \to s (Set)

를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자

Ω_{PL} ⊣ R

를 이룬다.^[5]^:§8

성질

범주론적 성질

단체 집합의 범주 $s (Set)$ 는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

위상수학적 성질

기하학적 실현 함자 $| \cdot | : s (Set) \to Top$ 는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 $CGHaus$ 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.^[6]^:49

또한, 단체 집합 $X$ 의 기하학적 실현 $| X |$ 는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.^[6]^{:p. 46}

모형 범주 구조

단체 집합의 범주 $s (Set)$ 는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.

약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다.
올뭉치는 칸 올뭉치(Kan올뭉치, 영어: Kan fibration)이다.
올대상은 칸 복합체(Kan複合體, 영어: Kan complex)이다.

칸 올뭉치

단체 집합 $E$ , $B$ 사이의 사상 $π : E \to B$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 칸 올뭉치(영어: Kan fibration)라고 한다.

임의의 단체

△^{n}

의 뿔

ι : \land_{k}^{n} ↪ △^{n}

및 사상

{\tilde{f}}_{0} : \land_{k}^{n} \to X

및

f : △^{n} \to B

에 대하여, 만약

f \circ ι = π \circ {\tilde{f}}_{0}

라면,

\tilde{f} \circ ι = {\tilde{f}}_{0}

이고

π \circ \tilde{f} = f

인

\tilde{f} : △^{n} \to E

가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.

\begin{matrix} \land_{k}^{n} & \overset{{\tilde{f}}_{0}}{\to} & E \\ ι ↓ & ↗ \exists \tilde{f} & ↓ π \\ △^{n} & \to_{f}^{} & B \end{matrix}

이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.

$∙$ 이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, 칸 복합체(Kan複合體, 영어: Kan complex)는 $∙$ 으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

예

표준 단체와 뿔

자연수 $n \in ℕ$ 에 대하여, 단체 집합의 범주에서 표준 $n$ 차원 단체(영어: standard $n$ -simplex) $△^{n}$ 는 ${hom}_{△} (-, Δ_{n})$ 로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해

{hom}_{s (Set)} (△^{n}, Y) ≅ Y (n)

가 성립한다.

표준 $n$ 차원 단체 $△^{n}$ 가 주어졌을 때, $k \in {0, \dots, n}$ 에 대하여, $\land_{k}^{n}$ 가 $\partial △^{n}$ 에서 $k$ 번째 면들을 제거한 $n - 1$ 차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 뿔(영어: horn)이라고 한다.

구체적 범주 속의 단체 대상

만약 $𝒞 \to Set$ 가 구체적 범주일 경우, $𝒞$ 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

단체 복합체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

(추상적) 단체 복합체 $(Σ_{n})_{n \in ℕ}$ . 여기서 $Σ_{0}$ 은 꼭짓점들의 집합이며, $Σ_{i} \subseteq 𝒫 (Σ_{0})$ 는 $i + 1$ 개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
꼭짓점 집합 $Σ_{0}$ 위의 전순서 $\leq$

그렇다면, 다음을 정의하자.

양의 정수 $n \in ℕ$ 에 대하여, 집합 $Δ_{n}$ 의 원소 $M$ 은 $Σ_{0}$ 의 원소들로 구성된, 크기 $n + 1$ 의 중복집합 $M$ 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 $| M |$ 이 $⨆_{n = 0}^{\infty} Σ_{n}$ 에 속하는 것이다.
꼭짓점 중복집합 M∈Δn이 주어졌다고 하자. M에서, i+1번째로 작은 원소를 mi∈Σ0라고 하자 (0≤i≤n). 그렇다면, ∂ni(M) 및 sni(M)을 다음과 같이 정의하자.
- $\partial_{n}^{i} (M) = M ∖ {m_{i}} \in Δ_{n - 1}$
- $s_{n}^{i} (M) = M ⊔ {m_{i}} \in Δ_{n + 1}$

그렇다면, $(Δ_{n}, \partial_{n}^{i}, s_{n}^{i})_{n, i}$ 는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 $(Σ_{n})_{n \in ℕ}$ 의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

신경

작은 범주 $𝒞$ 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 $nerve 𝒞$ 가 존재하며, 이를 $𝒞$ 의 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자

nerve : Cat \to sSet

를 정의한다.

역사

단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.

같이 보기

정규화 사슬 복합체

각주

↑ Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》 (영어). Progress in Mathematics 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.
↑ Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. 《Methods of homological algebra》 (영어). Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12492-5.
↑ Curtis, Edward B. (1971년 4월). “Simplicial homotopy theory” (영어). 《Advances in Mathematics》 6 (2): 107–209. doi:10.1016/0001-8708(71)90015-6. MR 279808.
↑ Friedman, Greg (2012). “An elementary illustrated introduction to simplicial sets” (영어). 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 42 (2): 353–423. arXiv:0809.4221. Bibcode:2008arXiv0809.4221F. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-353. ISSN 0035-7596. MR 2915498. Zbl 06035442. CS1 관리 - Zbl (링크)
↑ Bousfield, Aldridge Knight; Gugenheim, Victor K. A. M. (1976). 《On PL De Rham theory and rational homotopy type》 (영어). Memoirs of the American Mathematical Society 179. American Mathematical Society. doi:10.1090/memo/0179. ISBN 978-0-8218-2179-4. MR 425956.
↑ ^가 ^나 Gabriel, Peter; Zisman, Michel (1967). 《Calculus of fractions and homotopy theory》 (PDF) (영어). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85844-4. ISSN 0071-1136.

외부 링크

“Simplicial set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Simplicial set” (영어). 《nLab》.
“Augmented simplicial set” (영어). 《nLab》.
“SimpSet” (영어). 《nLab》.
“Model structure on simplicial sets” (영어). 《nLab》.
“Kan fibration” (영어). 《nLab》.
“Kan complex” (영어). 《nLab》.
“Horn” (영어). 《nLab》.
“Differential forms on simplices” (영어). 《nLab》.
“Join of simplicial sets” (영어). 《nLab》.

모듈:Authority_control 159번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

[1] Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》 (영어). Progress in Mathematics 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.

[2] Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. 《Methods of homological algebra》 (영어). Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12492-5.

[3] Curtis, Edward B. (1971년 4월). “Simplicial homotopy theory” (영어). 《Advances in Mathematics》 6 (2): 107–209. doi:10.1016/0001-8708(71)90015-6. MR 279808.

[4] Friedman, Greg (2012). “An elementary illustrated introduction to simplicial sets” (영어). 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 42 (2): 353–423. arXiv:0809.4221. Bibcode:2008arXiv0809.4221F. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-353. ISSN 0035-7596. MR 2915498. Zbl 06035442. CS1 관리 - Zbl (링크)

[5] Bousfield, Aldridge Knight; Gugenheim, Victor K. A. M. (1976). 《On PL De Rham theory and rational homotopy type》 (영어). Memoirs of the American Mathematical Society 179. American Mathematical Society. doi:10.1090/memo/0179. ISBN 978-0-8218-2179-4. MR 425956.

[Gabriel-6] 가 ^나 Gabriel, Peter; Zisman, Michel (1967). 《Calculus of fractions and homotopy theory》 (PDF) (영어). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85844-4. ISSN 0071-1136.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]