쌍가군

환론에서 쌍가군(雙加群, 영어: bimodule 바이모듈^[*])은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

정의

환 $R$ 와 $S$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(R, S)$ -쌍가군(영어: $(R, S)$ -bimodule) $_{R} M_{S}$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

아벨 군 $(M, +)$
$M$ 위의 $R$ -왼쪽 가군 구조 $_{R} M$
$M$ 위의 $S$ -오른쪽 가군 구조 $M_{S}$

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

모든 $r \in R$ , $s \in S$ , $m \in M$ 에 대하여, $(r m) s = r (m s)$

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 와 $K$ -단위 결합 대수 $R$ 와 $S$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(K; R, S)$ -쌍가군 $_{R} M_{S}$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

아벨 군 $(M, +)$
$M$ 위의 $R$ -왼쪽 가군 구조 $_{R} M$
$M$ 위의 $S$ -오른쪽 가군 구조 $M_{S}$

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

모든 $r \in R$ , $s \in S$ , $m \in M$ 에 대하여, $(r m) s = r (m s)$
모든 $k \in K$ 에 대하여, $k m = m k$

$(R, S)$ -쌍가군은 $K = ℤ$ 일 때 $(ℤ; R, S)$ -쌍가군의 개념과 같다.

두 $(K; R, S)$ -쌍가군 $_{R} M_{S}$ , $_{R} N_{S}$ 사이의 쌍가군 준동형(영어: bimodule homomorphism) $ϕ : M \to N$ 은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

$ϕ$ 는 $R$ -왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, $r ϕ (m) = ϕ (r m) \forall r \in R, m \in M$ 이다.
$ϕ$ 는 $S$ -오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, $ϕ (m) s = ϕ (m s) \forall s \in S, m \in M$ 이다.

성질

가군과의 관계

다음 네 개념들이 서로 동치이다.

$(K; R, S)$ -쌍가군
$(K; S^{op}, R^{op})$ -쌍가군
$R \otimes_{K} S^{op}$ -왼쪽 가군
$R^{op} \otimes_{K} S$ -오른쪽 가군

(여기서 $(-)^{op}$ 는 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.

아벨 군
$ℤ$ -가군
$(ℤ, ℤ)$ -쌍가군

환 $R$ 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

$R$ -왼쪽 가군
$R^{op}$ -오른쪽 가군
$(R, ℤ)$ -쌍가군
$(ℤ, R^{op})$ -쌍가군

환 $R$ 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

$R$ -오른쪽 가군
$R^{op}$ -왼쪽 가군
$(ℤ, R)$ -쌍가군
$(R^{op}, ℤ)$ -쌍가군

가환환 $R$ 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

$R$ -가군
$(R; R, R)$ -쌍가군
$(ℤ, R)$ -쌍가군
$(R, ℤ)$ -쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, $(K; R, S)$ -쌍가군 준동형은 $R \otimes_{K} S^{op}$ -왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 $R$ 에 대하여, 모든 $R$ -가군 (즉, $(R; R, R)$ -쌍가군)은 망각을 통하여 $(ℤ; R, R)$ -쌍가군을 이루지만, 일반적으로 $(R; R, R)$ -쌍가군이 아닌 $(ℤ; R, R)$ -쌍가군이 존재한다.

텐서곱 가군과 준동형 가군

$(R, S)$ -쌍가군 $_{R} M_{S}$ 및 $(S, T)$ -쌍가군 $_{S} N_{T}$ 이 주어졌을 때, 텐서곱

_{R} M \otimes_{S} N_{T}

은 자연스럽게 $(R, T)$ -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

(_{R} M \otimes_{S} -) :_{S} {Mod}_{T} \to_{R} {Mod}_{T}

(- \otimes_{S} N_{T}) :_{R} {Mod}_{S} \to_{R} {Mod}_{T}

를 정의한다.

또한, $(R, S)$ -쌍가군 $_{R} M_{S}$ 및 $(R, T)$ -쌍가군 $_{R} N_{T}$ 가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

{hom}_{_{R} Mod} (_{R} M_{S},_{R} N_{T})

은

(s f t) (m) = (f (m s)) t \forall s \in S, t \in T, m \in M, f \in {hom}_{_{R} Mod} (_{R} M_{S},_{R} N_{T})

를 통해 $(S, T)$ -쌍가군을 이룬다.^[1]^:94 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

{hom}_{R} (_{R} M_{S}, -) :_{R} {Mod}_{T} \to_{S} {Mod}_{T}

{hom}_{R} (-,_{R} N_{T}) :_{R} {Mod}_{S} \to_{S} {Mod}_{T}^{op}

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 $(R, S)$ -쌍가군 $_{R} M_{S}$ 및 $(T, S)$ -쌍가군 $_{T} N_{S}$ 가 주어졌을 때, 준동형군

{hom}_{{Mod}_{S}} (_{R} M_{S},_{T} N_{S})

은

(t f r) (m) = t (f (r m)) \forall r \in R, t \in T, m \in M, f \in {hom}_{{Mod}_{S}} (_{R} M_{S},_{T} N_{S})

를 통해 $(T, R)$ 쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

{hom}_{S} (_{R} M_{S}, -) :_{T} {Mod}_{S} \to_{T} {Mod}_{R}

{hom}_{S} (-,_{T} N_{S}) :_{R} {Mod}_{S} \to_{T} {Mod}_{R}^{op}

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

(_{R} M \otimes_{S} -) ⊣ {hom}_{R} (_{R} M_{S}, -)

(- \otimes_{R} M_{S}) ⊣ {hom}_{S} (_{R} M_{S}, -)

특히, $T = ℤ$ 또는 $R = ℤ$ 또는 $S = ℤ$ 를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

(_{R} M \otimes_{S} -) :_{S} Mod \to_{R} Mod

(- \otimes_{R} M_{S}) : {Mod}_{R} \to {Mod}_{S}

{hom}_{R} (_{R} M_{S}, -) :_{R} Mod \to_{S} Mod

{hom}_{R} (-,_{R} M_{S}) :_{R} Mod \to {Mod}_{S}^{op}

{hom}_{S} (_{R} M_{S}, -) : {Mod}_{S} \to {Mod}_{R}

{hom}_{S} (-,_{R} M_{S}) : {Mod}_{S} \to_{R} {Mod}^{op}

(_{R} M \otimes_{S}) ⊣ {hom}_{R} (_{R} M_{S}, -)

(- \otimes_{R} M_{S}) ⊣ {hom}_{S} (_{R} M_{S}, -)

쌍가군의 이차 범주

임의의 가환환 $K$ 와 $K$ -단위 결합 대수 $R$ , $S$ 에 대하여, $(K; R, S)$ -쌍가군을 대상으로 하고, $(K; R, S)$ -쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 $_{R} K {-uAssocAlg}_{S}$ 가 존재한다. $K = ℤ$ 인 경우 이는 단순히 $_{R} {Mod}_{S}$ 로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 에 대하여 다음과 같은 이차 범주 ${Bimod}_{K}$ 가 존재한다.

${Bimod}_{K}$ 의 대상은 $K$ -단위 결합 대수이다. (즉, $K -uAssocAlg$ 의 대상과 같다.)
BimodK에서, 단위 결합 대수 R, S 사이의 1-사상은 (K;R,S)-쌍가군 RMS이다. RMS의 정의역은 R, 공역은 S이다.
- 두 쌍가군 $_{R} M_{S}$ , $_{S} N_{T}$ 의 합성은 쌍가군의 텐서곱 $_{R} M \otimes_{S} N_{T}$ 이다.
- 환 $R$ 위의 항등 사상은 $_{R} R_{R}$ 이다.
같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 $_{R} M_{S}$ , $_{R} N_{S}$ 사이의 2-사상은 $(K; R, S)$ -쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 ${hom}_{Bimod} (R, S) =_{R} K {-uAssocAlg}_{S}$ 이다.

예

아이디얼

환 $R$ 의 왼쪽 아이디얼은 $R$ -왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 $R$ -오른쪽 가군을 이룬다. $R$ 의 양쪽 아이디얼 $𝔞 \subseteq R$ 은 $(R, R)$ -쌍가군을 이룬다.

특히, $R$ 전체는 $R$ 의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 $(R, R)$ -쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 위의 단위 결합 대수 $R$ 가 주어졌을 때, $K$ -가군을 이루는 $R$ -양쪽 아이디얼 $𝔞 \subseteq R$ 는 $(K; R, R)$ -쌍가군을 이룬다. 특히, $R$ 전체는 $(K; R, R)$ -쌍가군을 이룬다.

부분환

$(R, S)$ -쌍가군 $_{R} M_{S}$ 및 $R$ 의 부분환 $\tilde{R} \subseteq R$ 와 $S$ 의 부분환 $\tilde{S} \subseteq S$ 가 주어졌을 때, $M$ 은 망각을 통해 자연스럽게 $_{\tilde{R}} M_{\tilde{S}}$ -쌍가군을 이룬다.

특히, 환 $R$ 의 부분환 $\tilde{R} \subseteq R$ 가 주어졌을 때, 쌍가군 $_{R} R_{R}$ 에 망각을 가하여 쌍가군 $_{\tilde{R}} R_{R}$ 및 $_{R} R_{\tilde{R}}$ 및 $_{\tilde{R}} R_{\tilde{R}}$ 를 정의할 수 있다.

가군의 자기 사상

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $M_{R}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${Mod}_{R}$ 는 가법 범주이므로 $M_{R}$ 의 자기 사상 집합 ${End}_{{Mod}_{R}} (M_{R}) = {hom}_{{Mod}_{R}} (M_{R}, M_{R})$ 는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은 $M_{R}$ 의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 $M_{R}$ 는 $(End M, R)$ -쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 은 자연스럽게 $(R, (End M)^{op})$ -쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

행렬 쌍가군

환 $R$ 위의 $m \times n$ 행렬로 구성된 아벨 군 $Mat (m, n; R)$ 을 생각하자. 만약 $m = n$ 이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) $Mat (n, n; R) = Mat (n; R)$ 는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 $R$ -쌍선형 함수 $Mat (m, n; R) \otimes_{R} Mat (n, p; R) \to Mat (m, p; R)$ 를 이룬다. 이에 따라, $Mat (m, n; R)$ 는 자연스럽게 $(Mat (m; R), Mat (n; R))$ -쌍가군을 이룬다.

물론, $R$ 는 (대각 행렬로서) $Mat (n; R)$ 의 부분환을 이룬다. 이에 따라, $Mat (m, n; R)$ 는 $(R, R)$ -쌍가군을 이룬다. 이 경우, $Mat (m, n; R)$ 는 단순히 자유 가군 $R^{m n \oplus}$ 으로 생각할 수 있다.

응용

쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.

참고 문헌

↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004). 《Algebras, rings and modules. Vol. 1》 (영어). Mathematics and its Applications 575. 도르드레흐트: Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/1-4020-2691-9. ISBN 978-1-4020-2690-4. ISSN 0921-3791. MR 2106764. Zbl 1086.16001.

외부 링크

“Bimodule” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Bimodule” (영어). 《nLab》.
Yuan, Qiaochu (2012년 2월 16일). “Morita equivalence and the bicategory of bimodules” (영어). 《Annoying Precision》. 2015년 9월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 14일에 확인함.

[HGK-vol1-1] Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004). 《Algebras, rings and modules. Vol. 1》 (영어). Mathematics and its Applications 575. 도르드레흐트: Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/1-4020-2691-9. ISBN 978-1-4020-2690-4. ISSN 0921-3791. MR 2106764. Zbl 1086.16001.

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