바일 변환

바일 변환(영어: Weyl transformation)은 국소적으로 계량 텐서의 눈금을 바꾸는 변환이다. 등각 사상의 특수한 경우다. 물리학, 특히 등각장론에서 쓰인다.

역사

헤르만 바일은 1918년에 게이지의 개념을 도입하여, 전자기장을 기하학적으로 설명하려고 하였다. 바일이 도입한 게이지는 오늘날 바일 변환으로 일컬어지는 것으로, 국소적으로 시공의 축척을 바꾸는 변환이었다. (영어로 "gauge 게이지^[*]"는 측도를 뜻한다.) 바일의 통일장론은 실패하였으나, 그의 등각 대칭의 도입은 살아남아 이후 끈 이론과 위상 양자장론 등의 초석을 이루게 되었다. 예를 들어, 끈 이론에서 근본적인 폴랴코프 작용은 바일 변환을 따른다.

정의

계량 텐서 $g_{mn}$을 생각하자. 바일 도움변수(영어: Weyl parameter) $\Lambda (x)$가 주어지면, 바일 변환은 계량 텐서를 다음과 같이 바꾼다.

$g_{mn}\mapsto (\exp \Lambda )g_{mn}$

바일 접속

일반적인 레비치비타 접속은 바일 변환을 따르지 않는다. 바일 변환에 대해 공변하는 공변 미분을 정의하려면, 바일 접속(영어: Weyl connexion) (또는 등각 접속) $B_m$을 다음과 같이 정의한다. 레비치비타 접속 $A_m$이 주어지면, 이에 대하여 다음과 같이 변환하게 한다.

$B_m=A_m+\frac{1}{2}{\partial }_m\Lambda$

이를 이용하여, 등각 무게 $k$를 가진 개체 (즉 $\varphi \mapsto \varphi \exp (k\Lambda )$와 같이 변환하는 개체)의 바일 공변 미분은 다음과 같다.

$D_m={\partial }_m+\frac{1}{2}k{B}_m$

참고 문헌

• Weyl, Hermann (1918). 《Raum, Zeit, Materie》.  (영어 번역 1952 Dover. ISBN 0-486-60267-2).