베셀 함수

수학에서 베셀 함수(Bessel function)는 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수다. 물리학에서 맥스웰 방정식이나 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 쓰인다.

정의

베셀 함수는 다음과 같은 상미분 방정식을 통해 기술되는 해 $y(x)$에 해당하는 함수 무리를 일컫는 말이다.

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=0$

여기서 $\alpha$는 임의의 복소수다. 이 상미분 방정식을 $\alpha$차수의 베셀 방정식(Bessel equation)이라고 한다.

베셀 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 베셀 방정식은 서로 선형 독립인 두 가지 해를 가진다. $\alpha$가 정수일 경우, 두 해 가운데 하나는 $x\to 0$에서 발산하고, 다른 하나는 발산하지 않는다. 발산하지 않는 경우를 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind) $J_{\alpha }(x)$라고 하고, 발산하는 경우를 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind) $Y_{\alpha }(x)$라고 한다. ($\alpha$가 정수가 아닐 경우에도 $J_{\alpha }(x)$와 $Y_{\alpha }(x)$는 베셀 방정식을 통해 기술되는 선형 독립된 두 종류 해를 이룬다.) 즉, 베셀 방정식을 통해 얻어지는 일반해는 다음과 같다.

$y(x)=c_1{J}_{\alpha }(x)+c_2{Y}_{\alpha }(x)$

여기서 c₁, c₂는 임의의 상수다.

베셀 방정식 유도

베셀 방정식은 2차원 헬름홀츠 방정식

$(\Delta +k^2)f=0$

을 극좌표계에서 변수분리하면서 등장한다.

먼저 헬름홀츠 방정식은 선형이므로 $f(r,\theta )$를 극좌표 $r,\theta$에 대해

$f(r,\theta )=R(kr)\Theta (\theta )$

와 같이 변수분리할 수 있는데, $\theta$는 극좌표계 상에서 각도를 나타내므로 $\Theta$는 360° 회전변환에 불변하는 형태인

$\Theta (\theta )=\cos n\theta$ 또는 $\sin n\theta$ ($n\in \mathbb{Z}$)

가 되고, 이를 헬름홀츠 방정식에 대입할 시 라플라스 연산자가 극좌표계에서

$\Delta =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}$

로 나타남에 따라 다음과 같은 베셀 방정식을 얻는다.

$(kr{)}^2{R}^{″}+(kr)R^{\prime }+((kr{)}^2-n^2)R=0$

제1종 베셀 함수

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑) 일 때 J_α(x)의 그래프

α가 임의의 복소수일 때, 베셀 방정식을 통해 나타나는 가장 기본적인 해를 제1종 베셀 함수 J_α(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!(m+\alpha )!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$

여기서 임의의 복소수에 대한 계승 $z!=\Gamma (z+1)$를 의미한다. ($\Gamma (z)$는 감마 함수이다.)

이 때 만약 α가 정수가 아니라면, J_α(x)와 J_-α(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서

$y(x)=c_1{J}_{\alpha }(x)+c_2{J}_{-\alpha }(x)$

(여기서 c₁,c₂는 상수)는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다.

성질

$J_{-\alpha }(x)=(-1{)}^{\alpha }{J}_{\alpha }(x)$(α가 정수일때만 정의 된다)

$J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$

$J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x$

$\frac{d}{dx}(x^{\alpha }{J}_{\alpha }(x))=x^{\alpha }{J}_{\alpha -1}$

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}{x}^{\prime }{J}_0(x^{\prime })d{x}^{\prime }=x{J}_1(x)$

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k(x)=1$

베셀의 적분

n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분 표현을 사용해서 베셀 함수의 표현이 가능하다.

$J_n(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (n\tau -x\sin \tau )d\tau .$

이 형태는 프리드리히 베셀이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다.

또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다.

$J_n(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-i(n\tau -x\sin \tau )}d\tau$

경로적분법을 통한 표현

경로적분법을 사용하여 베셀 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$J_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint e^{(z/2)(t-1/t)}{t}^{-n-1}dt$

여기서 적분 경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

제2종 베셀 함수

파일:BesselY plot.svg

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑)일 때 Y_α(x)의 그래프

만약 베셀 방정식의 계수 $\alpha$가 정수이면 $J_{-\alpha }(x)=(-1{)}^{\alpha }{J}_{\alpha }(x)$이므로 두 함수는 독립이 아니게 된다. 이 경우 나머지 한 해를 제2종 베셀 함수 Y_α(x)라고 하고, 다음과 같다.

$Y_{\alpha }(x)=\underset{m\to \alpha }{\lim }\frac{J_m(x)\cos m\pi -J_{-m}(x)}{\sin m\pi }$.

$\alpha$가 정수가 아닐 경우에는 위 공식은 극한 없이 바로 사용할 수 있지만, $\alpha$가 정수일 경우에는 극한을 취하여야만 한다.

변형 베셀 함수

다음과 같은 2차 상미분 방정식을 변형 베셀 방정식(modified Bessel equation)이라고 한다.

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+{\alpha }^2)y=0$

변형 베셀 방정식의 해는 제1종 변형 베셀 함수 $I_{\alpha }(x)$와 제2종 변형 베셀 함수 $K_{\alpha }(x)$이다. 즉, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$y(x)=c_1{I}_{\alpha }(x)+c_2{K}_{\alpha }(x)$

방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수라고도 불린다.

제1종 변형 베셀 함수

파일:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 I_α(x)의 그래프

변형 베셀 방정식의 기본적인 해를 제1종 변형 베셀 함수 I_α(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다.

$I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }{J}_{\alpha }(ix)$

급수 형태

제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다.

$I_{\alpha }(z)={\left(\frac{1}{2}z\right)}^{\alpha }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\frac{1}{4}{z}^2\right)}^k}{k!\Gamma (\alpha +k+1)}$

적분을 통한 표현

선적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다.

$I_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint e^{(z/2)(t+1/t)}{t}^{-n-1}dt$

여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다.

$I_{\alpha }(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{z\cos \theta }\cos (\alpha \theta )d\theta -\frac{\sin (\alpha \pi )}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z\cosh t-\alpha t}dt$

만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

$I_n(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{z\cos \theta }\cos (n\theta )d\theta$

미분과 관련된 성질

n = 0 에서의 제1종 변형 베셀 함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$I_n(x)=T_n\frac{d}{dx}{I}_0(x)$

여기서 T_n은 제1종 체비세프 다항식이다.

제2종 변형 베셀 함수

파일:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 K_α(x)의 그래프

마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 제2종 변형 베셀 함수 K_α(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다.

$K_{\alpha }(x)=\frac{\pi }{2}\frac{I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }$

변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일 때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면,

$K_{\alpha }(x)=\underset{m\to \alpha }{\lim }\frac{\pi }{2}\frac{I_{-m}(x)-I_m(x)}{\sin \alpha \pi }$

또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다.

• 배셋 함수
• 맥도날드 함수

다른 표현

베셀 함수는 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 야코비-앙거 전개(Jacobi–Anger expansion)라고 한다.

$\exp (ir\cos \theta )=\sum _n{i}^n{J}_n(r)\exp (in\theta )=J_0(r)+\sum _{n}2i^n{J}_n(r)\cos n\theta$.

이는 카를 구스타프 야코프 야코비와 카를 테오도어 앙거(Carl Theodor Anger)의 이름을 딴 것이다.

마찬가지로, 구면 베셀 함수도 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 레일리 전개(Rayleigh expansion)라고 한다.

$\exp (ir\cos \theta )=\sum _n{i}^n(2n+1)j_n(r)P_n(\cos \theta )$.

여기서 $P_n$은 르장드르 다항식이다.

역사

다니엘 베르누이가 최초로 정의하였다. 프리드리히 베셀이 연구하고, 일반화하였다.

같이 보기

• 헬름홀츠 방정식
• 구면 조화 함수
• 프로베니우스 방법

각주

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the first kind” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the second kind” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the first kind” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the second kind” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Cylinder functions” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Neumann function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hankel functions” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.