프로베니우스 방법

프로베니우스 방법(Frobenius方法, 영어: Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다.

정의

정칙 함수 $p_{1} (z), \dots, p_{k} (z)$ 가 $z = 0$ 에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙 함수 $f (z)$ 에 대한 k차 선형 상미분 방정식

f^{(k)} (z) + z^{- 1} p_{k - 1} (z) f^{(k - 1)} (z) + \dots + z^{1 - n} p_{1} (z) f^{'} (z) + z^{- n} p_{0} f (z) = 0

은 $z = 0$ 에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, 프로베니우스 방법은 $f$ 를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.

f (z) = z^{r} + a_{1} z^{r + 1} + a_{2} z^{r + 2} + \dots

이 경우, 미지의 최저 차수 $r$ 는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 $z \to 0$ 근처에서 다음과 같다.

0 = (r (r - 1) \dots (r - k + 1) + p_{k - 1} (0) r (r - 1) \dots (r - k + 2) + \dots + p_{1} (0) r + p_{0} (0)) z^{r - k} + 𝒪 (z^{r - k + 1})

따라서,

0 = r (r - 1) \dots (r - k + 1) + p_{k - 1} (0) r (r - 1) \dots (r - k + 2) + \dots + p_{1} (0) r + p_{0} (0)

임을 알 수 있다. $r$ 에 대한 이 n차 다항식을 결정 다항식(영어: indicial polynomial)이라고 하며, $r$ 는 결정 다항식의 근이다.

만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.
만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.

f (z) = z^{r} \sum_{m = 1}^{k - 1} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{m, n} (\ln z)^{m} z^{n}

다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (푹스 정리 영어: Fuchs’ theorem).

근이 겹치는 경우

결정 다항식의 근들이 ${r_{1}, \dots,}$ 이고, $λ_{i}$ 의 중복도가 $m_{i}$ 라고 하자. 또한, $i \neq j$ 인 경우 $r_{i} - r_{j}$ 가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 $r^{i}$ 에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다.

f_{i, 0} = z^{r_{i}} (\dots)

f_{i, 1} = f_{i, 0} (z) \frac{\ln z}{2 π i \exp (2 π i r_{i})} + z^{r_{i}} (\dots)

f_{i, 2} = f_{i, 1} (z) \frac{\ln z}{2 π i \exp (2 π i r_{i})} + z^{r_{i}} (\dots)

⋮

f_{i, m_{i} - 1} = f_{i, m_{i} - 2} (z) \frac{\ln z}{2 π i \exp (2 π i r_{i})} + z^{r_{i}} (\dots)

여기서 $(\dots)$ 는 $z = 0$ 에서 정칙 함수를 나타낸다. 이 경우, $z = 0$ 을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다.

(\begin{matrix} f_{i, m_{i} - 1} \\ f_{i, m_{i} - 2} \\ ⋮ \\ f_{i, 1} \\ f_{i, 0} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} \exp (2 π i r_{i}) & 1 \\ \exp (2 π i r_{i}) & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ \exp (2 π i r_{i}) & 1 \\ \exp (2 π i r_{i}) \end{matrix}) (\begin{matrix} f_{i, m_{i} - 1} \\ f_{i, m_{i} - 2} \\ ⋮ \\ f_{i, 1} \\ f_{i, 0} \end{matrix})

낮은 차수 선형 방정식

1차 선형 방정식

1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식

f^{'} (z) + p (z) f (z) / z = 0

의 경우, 결정 다항식은

r = - p (0)

이며, 이에 따라 해는

f (z) = z^{- p (0)} (a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)

의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로

f (z) = \exp (C - \int_{0}^{z} \frac{p (z^{'}) d z}{z^{'}}) = \exp (C - p (0) \ln z + p^{'} (0) z + p^{″} (0) z^{2} / 4 + \dots)

로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 $z \to \exp (i θ) z$ 에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로

f (z) \to \exp (- 2 π i p (0)) f (z)

가 됨을 알 수 있다.

2차 선형 방정식

2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다.

r = \frac{1}{2} (1 - p_{1} (0) \pm \sqrt{(p_{1} (0) - 1)^{2} - 4 p_{2} (0)})

이 경우 두 근을 $r_{1}, r_{2}$ 라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다.

만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 $r_{1} - r_{2}$ 가 정수가 아니라면

f_{1} (z) = z^{r_{1}} (a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)

f_{2} (z) = z^{r_{2}} (b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \dots)

와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우,

z \to \exp (i θ) z

와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

(\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \exp (2 π i r_{1}) & 0 \\ 0 & \exp (2 π i r_{2}) \end{matrix}) (\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix})

만약 두 근이 서로 겹친다면 ( $r_{1} = r_{2} = r$ ) 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

f_{1} (z) = z^{r} (a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)

f_{2} (z) = f_{1} (z) \ln z + z^{r} (b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \dots)

이 경우,

z \to \exp (i θ) z

와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

(\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \exp (2 π i r) & 0 \\ 2 π i \exp (2 π i r) & \exp (2 π i r) \end{matrix}) (\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix})

만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 $r_{1} - r_{2} = n \in ℤ^{+}$ 가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

f_{1} (z) = z^{r_{1}} (a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)

f_{2} (z) = C f_{1} (z) \ln z + z^{r_{2}} (b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \dots)

이 경우

C = 0

또는

C = 1

이다. 이 경우,

z \to \exp (i θ) z

와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

(\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \exp (2 π i r_{1}) & 0 \\ 2 π i C \exp (2 π i r_{1}) & \exp (2 π i r_{1}) \end{matrix}) (\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix})

예

베셀 방정식

f^{″} + z^{- 1} f^{'} + (1 - α^{2} / z^{2}) f = 0

을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은

r (r - 1) + r - α^{2}

이다. 따라서

r = \pm α

가 된다. 즉, $α \in̸ ℤ$ 라면 해는 $z = 0$ 근처에서

f (z) \propto z^{\pm α} (1 + \dots)

의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 ${J_{α} (z), J_{- α} (z)}$ 에 의하여 주어지며, 이들은 $z = 0$ 근처에서 다음과 같다.

J_{\pm α} (z) \sim \frac{(z / 2)^{\pm α}}{Γ (1 \pm α)} + \dots

여기서 $\dots$ 는 $z = 0$ 에서 정칙 함수이다.

만약 $α = 0$ 이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 ${J_{0} (z), Y_{0} (z)}$ 이며, $z = 0$ 근처에서

J_{0} (z) \sim 1 + \dots

Y_{0} (z) \sim (2 / π) J_{0} (z) \ln z + \dots

이다. 여기서 $\dots$ 는 $z = 0$ 에서 정칙 함수이다.

만약 $α = n \in ℤ^{+}$ 이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 ${J_{n} (z), Y_{n} (z)}$ 가 된다. 이 경우

J_{n} (z) \sim (z / 2)^{n} / n! + \dots

Y_{n} (z) \sim (2 / π) π J_{n} (z) \ln z + z^{- n} (\dots)

이다. 여기서 $\dots$ 는 $z = 0$ 에서 정칙 함수이다.

같이 보기

참고 문헌

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Frobenius method” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius method” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuchs’s theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.