기저 (위상수학)

일반위상수학에서, 위상 공간의 기저(基底, 영어: base, basis)는 모든 열린집합을 합집합을 통해 생성할 수 있는 열린집합들이다. 많은 경우, 열린집합을 직접 정의하는 것보다 기저나 부분 기저를 통해 위상을 기술하는 것이 더 편리하다.

정의

집합 $X$ 에 대해, 다음 성질을 만족하는 $X$ 의 부분 집합들의 족 $ℬ \subseteq 𝒫 (X)$ 를 $X$ 의 기저라고 한다.

$ℬ$ 는 $X$ 의 덮개이다. 즉, $⋃ ℬ = X$ 이다. 즉, 임의의 $x \in X$ 에 대하여 $x \in B$ 를 만족하는 $B \in ℬ$ 가 존재한다.
임의의 $B, B^{'} \in ℬ$ 에 대하여, $B \cap B^{'}$ 의 덮개를 이루는 $𝒮 \subseteq ℬ$ 가 존재한다 (즉, $B \cap B^{'} = ⋃ 𝒮$ ). 다시 말해, 임의의 $B, B^{'} \in ℬ$ 및 $x \in B \cap B^{'}$ 에 대하여, $x \in B^{″} \subseteq B \cap B^{'}$ 인 $B^{″} \in ℬ$ 가 존재한다.

이때 기저 $ℬ$ 에 의해 생성되는 위상 (열린집합들의 족) $𝒯 \subseteq 𝒫 (X)$ 는 다음과 같다.

𝒯 = {⋃ 𝒮 : 𝒮 \subseteq ℬ}

즉, 기저 $ℬ$ 로 생성되는 위상 $𝒯$ 는 $ℬ$ 의 부분 집합들의 합집합들로 구성된다. 다시 말해, $X$ 의 부분 집합 $U \subseteq X$ 가 열린집합일 필요 충분 조건은, 임의의 $x \in U$ 에 대하여 $x \in B \subseteq U$ 를 만족하는 $B \in ℬ$ 가 존재하는 것이다.

부분 기저

집합 $X$ 속의 임의의 집합족 $𝒮 \subseteq 𝒫 (X)$ 가 주어졌다고 하자. 이때, $𝒮$ 로부터 생성되는 기저(영어: base generated by $𝒮$ ) $ℬ$ 는 다음과 같다.

ℬ = {⋂ ℱ : ℱ \subseteq 𝒮, | ℱ | < ℵ_{0}}

즉, $𝒮$ 로부터 생성되는 기저는 $𝒮$ 의 유한 교집합들로 구성된다. 이때 $𝒮$ 를 $ℬ$ 의 부분 기저(部分基底, subbase/subbasis)라 한다.

성질

위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 예를 들어, 실수 집합의 위상 공간에 대응하는 기저는 열린구간들이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린구간들이나 반대로 끝점이 무리수인 열린구간들도 기저가 될 수 있다.

예

비이산 위상

비이산 공간 $X$ 은 ${X}$ 을 기저로 하며, 이 기저는 공집합을 부분 기저로 한다.

이산 위상

이산 공간 $X$ 은 한원소 집합들의 족 ${{x} : x \in X}$ 을 기저로 한다.

거리 위상

거리 공간 $X$ 은 (거리 위상을 부여하면) 열린 공들의 족

{B_{r} (x) : r > 0, x \in X}

을 기저로 한다. 또한 반지름이 유리수인 열린 공들의 족

{B_{r} (x) : r \in ℚ^{+}, x \in X}

역시 이 위상의 기저이다. 이처럼 위상 공간의 기저는 유일하지 않다.

순서 위상

전순서 집합 $X$ 은 (순서 위상을 부여하면) 열린구간들의 족

{(a, b), (a, \infty), (- \infty, a) : a, b \in X}

을 기저로 한다. 또한 이 기저는 끝점에 무한대를 포함하는 열린구간들의 족

{(a, \infty), (- \infty, a) : a \in X}

을 부분 기저로 한다.

같이 보기

근방 필터

외부 링크

“Base” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological basis” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Topological base” (영어). 《nLab》.