브라우어르 차수

대수적 위상수학에서, 두 다양체 사이의 연속 함수의 브라우어르 차수(Brouwer次數, Brouwer degree)는 함수의 정의역이 함수의 치역을 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 기호는 $\mathrm{deg}$.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 자연수 $n\in \mathbb{N}$
• 두 $n$차원 콤팩트 연결 다양체 $X$, $Y$
• $X$와 $Y$ 위의 방향. 즉, 기본류 $[X]\in {\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})$, $[Y]\in {\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})$.
• 연속 함수 $f:X\to Y$

이에 따라, $X$와 $Y$의 최고차 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_n(X;\mathbb{Z})\cong H_n(Y;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$

그렇다면, $f$는 군 준동형

$f_{*}:{\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})\to {\mathrm{H}}_n(Y;\mathbb{Z})$

를 유도한다. 연속 함수 $f$의 브라우어르 차수 $\mathrm{deg}f$는 다음 조건을 만족시키는 유일한 정수이다.

$f_{*}([X])=(\mathrm{deg}f)[Y]$.

예

단위 절댓값의 복소수 집합으로 여긴 원

${𝕊}^1=\{z\in \mathbb{Z}:|z|=1\}$

을 생각하자. 이는 표준적인 방향을 갖는 1차원 콤팩트 다양체이다. 이 경우, 연속 함수

$f:{𝕊}^1\to {𝕊}^1$

$f:z\mapsto z^n$

의 브라우어르 차수는 다음과 같다.

$\mathrm{deg}f=n$

역사

라위트전 브라우어르가 1911년 정의하였다.

같이 보기

• 밀도 (다포체)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Brouwer degree” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Brouwer degree” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Degree of a continuous function” (영어). 《nLab》.