사유한군

수학에서 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군의 사영 극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의

위상군 $G$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상군을 사유한군이라고 한다.^[1]^{:5, Proposition 1.1.3}

하우스도르프 콤팩트 완전 분리 위상군이다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 부분군들로 구성된 $1 \in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 $1 \in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

증명 (넷째 조건 ⇒ 첫째 조건):

다음 사실들로부터 따라온다.

하우스도르프 위상군들의 사영 극한은 직접곱의 닫힌 부분군이며, 여기에 곱위상의 부분 공간 위상을 준다.
콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다.
완전 분리 공간의 곱공간 및 부분 집합은 완전 분리 공간이다.
유한 이산 공간은 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이다.

증명 (첫째 조건 ⇒ 둘째 조건):

위상군 $G$ 가 하우스도르프 공간이며, 콤팩트 공간이며, 완전 분리 공간이라고 하자. 임의의 열린 근방 $O ∋ 1$ 에 대하여, $H \subseteq O$ 인 열린 부분군 $H$ 를 찾으면 충분하다. 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간의 작은 귀납적 차원은 0이므로, $G$ 는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 가지며, $1 \in U \subseteq O$ 인 열린닫힌집합 $U$ 가 존재한다. 이제,

H = {g \in G : U g = U}

라고 하자. 자명하게 $H \subseteq U$ 이며 $H \leq G$ 이므로, $H$ 가 열린집합임을 보이면 충분하다.

H = V \cap V^{- 1}

V = {g \in G : U g \subseteq U}

이므로, $V$ 가 열린집합임을 보이면 충분하다. $V$ 의 정의에 따라, 임의의 $u \in U$ 및 $v \in V$ 에 대하여, $u v \in U$ 이므로, $U_{u v} V_{u v} \subseteq U$ 인 열린 근방 $U_{u v} ∋ u$ 및 $V_{u v} ∋ v$ 가 존재한다. ${U_{u v} : u \in U}$ 는 $U$ 의 $X$ 에서의 열린 덮개이며, $U$ 는 콤팩트 공간의 닫힌집합이므로 콤팩트 공간이다. 따라서, 유한 부분 덮개 ${U_{u_{1} v}, \dots, U_{u_{n_{v}} v}}$ 가 존재한다. 그렇다면,

V_{v} = V_{u_{1} v} \cap \dots \cap V_{u_{n_{v}} v}

는 열린집합이며, $v \in V_{v} \subseteq V$ 이다. 즉, $V$ 는 열린집합이다.

증명 (둘째 조건 ⇒ 셋째 조건):

임의의 열린 부분군 $H \leq G$ 에 대하여,

G = ⨆_{g H \in G / H} g H

이며, $G$ 가 콤팩트 위상군이므로, $H$ 의 지표는 유한하다. $H$ 의 켤레 부분군들의 수는 $H$ 의 정규화 부분군의 지표 $| G : N_{G} (H) |$ 이므로, 역시 유한하다. 이제,

N = ⋂_{g \in G} g H g^{- 1}

라고 하자. $N$ 은 $G$ 의 정규 부분군이며, $N \subseteq H$ 이다. 또한, 유한한 수의 열린집합의 교집합이므로, 열린집합이다.

증명 (셋째 조건 ⇒ 넷째 조건):

$𝒩$ 이 $G$ 의 열린 정규 부분군들의 집합이라고 하자. 가정에 따라, $𝒩$ 은 1의 국소 기저이다. 임의의 $N \in 𝒩$ 에 대하여, 몫군 $G / N$ 은 몫위상을 주었을 때 위상군을 이룬다. $G / N$ 은 콤팩트 공간의 연속적 상이므로 콤팩트 공간이며, $N \in G / N$ 의 원상 $N \subseteq G$ 가 열린집합이므로 이산 공간이다. 특히, $G / N$ 은 유한군이다. 또한, $𝒩$ 은 (포함 관계에 대하여) 하향 원순서 집합을 이루므로, 표준적인 전사 연속 군 준동형

ϕ_{N N^{'}} : G / N^{'} \to G / N (N^{'} \subseteq N)

들을 사용하여 사영 극한

\underset{N \in 𝒩}{\lim_{\leftarrow}} G / N

을 정의할 수 있다.

이제, 표준적인 전사 연속 군 준동형

ϕ_{N} : G \to G / N

을 생각하자. 사영 극한의 보편 성질에 따라, 연속 군 준동형

ϕ : G \to \underset{N \in 𝒩}{\lim_{\leftarrow}} G / N

π_{N} \circ ϕ = ϕ_{N} \forall N \in 𝒩

이 존재한다. $ϕ$ 가 위상군의 동형임을 보이면 충분하다. 그런데 $G$ 와 $\underset{N \in 𝒩}{\lim_{\leftarrow}} G / N$ 모두 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, $ϕ$ 가 전단사 함수임을 보이면 충분하다.

ϕ는 단사 함수
- $\ker ϕ = ⋂_{N \in 𝒩} N$ 이다. $𝒩$ 이 1의 국소 기저이며, $G$ 가 하우스도르프 공간이므로, $\ker ϕ = {1}$ 이다.
ϕ는 전사 함수
- 임의의 $x = (x_{N})_{N \in 𝒩} \in \underset{N \in 𝒩}{\lim_{\leftarrow}} G / N$ 에 대하여, $ϕ^{- 1} (x) = ⋂_{N \in 𝒩} ϕ_{N}^{- 1} (x_{N})$ 이다. 모든 $ϕ_{N}^{- 1} (x_{N})$ 은 콤팩트 공간 $G$ 의 닫힌집합이다. 임의의 유한 집합 ${N_{1}, \dots, N_{n}} \subseteq 𝒩$ 에 대하여, $N = N_{1} \cap \dots \cap N_{n}$ 이며 $x_{N} = ϕ_{N} (g)$ 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 $i = 1, \dots, n$ 에 대하여, $ϕ_{N_{i}} (g) = ϕ_{N_{i} N} (ϕ_{N} (g)) = ϕ_{N_{i} N} (x_{N}) = x_{N_{i}}$ 이다. 즉, $ϕ_{N_{1}}^{- 1} (x_{N_{1}}) \cap \dots \cap ϕ_{N_{n}}^{- 1} (x_{N_{n}}) \neq \emptyset$ 이며, $ϕ_{N}^{- 1} (x_{N})$ 들은 유한 교집합 성질을 만족시킨다. 따라서, $ϕ^{- 1} (x) \neq \emptyset$ 이다.

성질

다음 성질들이 성립한다.

(무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.

증명:

콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다. 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간의 곱공간 및 임의의 부분 집합은 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간이다. 따라서, 사유한군들의 직접곱 및 닫힌 부분군은 사유한군이다.

콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다. 특히, 이는 사유한군에서도 성립한다.

사유한 완비화

임의의 군 $G$ 의 사유한 완비화(射有限完備化, 영어: profinite completion) $\hat{G}$ 는 다음과 같다.

\hat{G} = \underset{\binom{N ⊲ G}{[G : N] < ℵ_{0}}}{\lim_{\leftarrow}} G / N

즉, $G$ 의 모든 유한 지표 정규 부분군 $N$ 에 대한 몫군들의 사영 극한이다. $\hat{G}$ 는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 $G \to \hat{G}$ 가 존재하며, 이 준동형의 상은 $\hat{G}$ 의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 함수가 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, $\hat{\hat{G}} ≇ \hat{G}$ 일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 $\hat{Grp}$ 와 군의 범주 $Grp$ 사이의 망각 함자

F : \hat{Grp} \to Grp

의 왼쪽 수반 함자

\hat{} : Grp \to \hat{Grp}

\hat{} ⊢ F

를 이룬다.^[2]^:345

함자의 구성:

사유한 완비화 $\hat{G}$ 는 다음 조건을 만족시키는 원소

(g_{N} N)_{N} \in \prod_{\binom{N ⊲ G}{[G : N] < ℵ_{0}}} G / N

들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.

임의의 유한 지표 정규 부분군 $N \subset N^{'} \subset G$ 에 대하여, $g_{N} N^{'} = g_{N^{'}} N^{'}$

그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형

ϕ : G \to H

의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다.

\hat{ϕ} : \hat{G} \to \hat{H}

\hat{ϕ} : (g_{N} N)_{N} \mapsto (ϕ (g_{ϕ^{- 1} (N^{'})}) N^{'})_{N^{'}}

예

모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수 $ℤ_{p}$ 는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 $ℤ / p^{n}$ 들의 사영 극한으로 정의된다. 정수군 $ℤ$ 의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.

\hat{ℤ} = \underset{n \in ℕ}{\lim_{\leftarrow}} ℤ / n ℤ ≅ \prod_{p} ℤ_{p}

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 $L / K$ 가 주어지면 $K$ 를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 $Gal (L / K)$ 는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 $F / K$ 들의 사영 극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.^[3]

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

참고 문헌

↑ Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). 《Cohomology of number fields》 2판 (영어). Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-540-37889-1. ISBN 978-3-540-37888-4. ISSN 0072-7830. LCCN 2008921043. MR 2392026. Zbl 1136.11001.
↑ Horel, Geoffroy (2017). “Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group” (영어) 321: 326-390. arXiv:1504.01605. doi:10.1016/j.aim.2017.09.030. ISSN 0001-8708. MR 3715714. Zbl 1385.55007.
↑ Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups” (영어). 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031.

Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). 《Field arithmetic》 3판 (영어). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge 11. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). “On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds” (영어). arXiv:math/0604399.
Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). “On finitely generated profinite groups. II. Products in quasisimple groups” (영어). arXiv:math/0604400.
Serre, Jean-Pierre (1994). 《Cohomologie galoisienne》 5판 (프랑스어). Lecture Notes in Mathematics 5. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0108758. ISBN 978-3-540-58002-7. MR 1324577. Zbl 0812.12002.

외부 링크

“Profinite group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Profinite group” (영어). 《nLab》.
“Profinite completion of a group” (영어). 《nLab》.
“Profinite completion of the integers” (영어). 《nLab》.
“Profinite group” (영어). 《Groupprops》.
“Profinite completion” (영어). 《Groupprops》.
“Profinite completion of the integers” (영어). 《Groupprops》.

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[NeukirchSchmidtWingberg2008-1] Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). 《Cohomology of number fields》 2판 (영어). Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-540-37889-1. ISBN 978-3-540-37888-4. ISSN 0072-7830. LCCN 2008921043. MR 2392026. Zbl 1136.11001.

[Horel-2] Horel, Geoffroy (2017). “Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group” (영어) 321: 326-390. arXiv:1504.01605. doi:10.1016/j.aim.2017.09.030. ISSN 0001-8708. MR 3715714. Zbl 1385.55007.

[3] Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups” (영어). 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031.

[1]

[2]

[3]