올뭉치

위상수학에서 올뭉치(영어: fibration 파이브레이션^[*]) 또는 올화(-化) 또는 파이버화(fiber化)는 올다발의 일반화이다. 올다발과 달리, 올들이 서로 호모토피 동치이지만 위상동형이 아닐 수 있다.

정의

위상 공간 $E$, $B$ 사이의 함수 $\pi :E\to B$ 및 위상 공간 $X$에 대하여 다음 조건이 성립한다면, $\pi$가 $X\stackrel{\times 0}{\hookrightarrow }X\times [0,1]$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다고 한다.

임의의

• 호모토피 $f:X\times [0,1]\to B$
• $\pi \circ {\tilde{f}}_0=f{|}_{X\times \{0\}}$인 연속 함수 ${\tilde{f}}_0:X\to E$

에 대하여, 항상 다음 조건을 만족시키는 호모토피 $\tilde{f}:X\times [0,1]\to E$가 존재한다.

• $f=\pi \circ \tilde{f}$
• ${\tilde{f}}_0=\tilde{f}{|}_{X\times \{0\}}$

즉, 다음 그림과 같다.

$\begin{array}{ccc}X& \stackrel{{\tilde{f}}_0}{\to }& E\\ \times \{0\}\downarrow & \nearrow \tilde{f}& \downarrow \pi \\ X\times [0,1]& \underset{f}{\overset{}{\to }}& B\end{array}$

위상 공간 $E$, $B$ 사이의 함수 $\pi :E\to B$가 임의의 위상 공간 $X$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 후레비치 올뭉치(영어: Hurewicz fibration)라고 한다.

위상 공간 $E$, $B$ 사이의 함수 $\pi :E\to B$가 임의의 CW 복합체 $X$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 세르 올뭉치(영어: Serre fibration)라고 한다.

후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치 $\pi :E\to B$의, $b\in B$에서의 올(영어: fiber)은 원상 $f^{-1}(b)\subseteq E$이다.

성질

$B$가 파라콤팩트 공간이라면, 올다발 $\pi :E\to B$는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다.

만약 $B$가 경로 연결 공간이라면, 후레비치 올뭉치 $E\to B$의 모든 올들은 서로 호모토피 동치이다. 그러나 올들은 (올다발과 달리) 서로 위상동형일 필요가 없다.

밑 $B$가 경로 연결 공간인 올다발 $E\to B$의 올이 $F$라면, 전체 공간 $E$의 오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.

$\chi (E)=\chi (B)\chi (F)$

이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다.

예

모든 올다발은 (모든 올이 서로 위상 동형인) 세르 올뭉치이다.

임의의 경로 연결 점을 가진 공간 $(X,{\bullet }_X)$에 대하여, 고리 공간 $\Omega X=[{𝕊}^1,X{]}_{\bullet }$ 및 경로 공간 $𝒫X=[𝕀,X{]}_{\bullet }$을 생각하자. 여기서 $𝕀$는 밑점 0을 가진 폐구간 $[0,1]$이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다.

$\Omega X\hookrightarrow 𝒫X\twoheadrightarrow X$

여기서 사영 사상 $𝒫X\twoheadrightarrow X$는 다음과 같다.

$(\gamma :[0,1]\to X,\gamma (0)={\bullet }_X)\mapsto \gamma (1)$

역사

세르 올뭉치의 개념은 장피에르 세르가 1951년에 박사 학위 논문에서 도입하였다. 후레비치 올뭉치의 개념은 비톨트 후레비치가 1955년에 도입하였다.

같이 보기

• 모형 범주
• 올다발

외부 링크

• “Hurewicz fibration” (영어). 《nLab》. 
• “Serre fibration” (영어). 《nLab》. 
• “Hurewicz connection” (영어). 《nLab》. 
• “Example of fiber bundle that is not a fibration” (영어). Math Overflow.