시프트 행렬

선형대수학에서 시프트 행렬(영어: shift matrix)은 초대각선 또는 준대각선의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다.

정의

체 $K$ 위의 $n \times n$ 상시프트 행렬(영어: upper shift matrix) $U_{n} \in Mat (n; K)$ 및 하시프트 행렬 $L_{n} \in Mat (n; K)$ 은 다음과 같이 정의된다.

(U_{n})_{i j} = δ_{i + 1, j} = {\begin{matrix} 1 & j = i + 1 \\ 0 & j \neq i + 1 \end{matrix} \forall i, j \in {1, \dots, n}

(L_{n})_{i j} = δ_{i, j + 1} = {\begin{matrix} 1 & i = j + 1 \\ 0 & i \neq j + 1 \end{matrix} \forall i, j \in {1, \dots, n}

여기서 $δ_{i j}$ 는 크로네커 델타이다. 예를 들어, $5 \times 5$ 상시프트 행렬 $U_{5}$ 및 하시프트 행렬 $L_{5}$ 는 다음과 같다.

U_{5} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}), L_{5} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

체 $K$ 위의 $m \times m$ 상·하시프트 행렬 $U_{m}, L_{m} \in Mat (m; K)$ 의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.

U_{m} \cdot : Mat (m, n; K) \to Mat (m, n; K)

U_{m} \cdot : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n - 1} \\ x_{n} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \\ 0_{1 \times n} \end{matrix}) \forall x_{1}, \dots, x_{n} \in Mat (1, n; K)

L_{m} \cdot : Mat (m, n; K) \to Mat (m, n; K)

L_{m} \cdot : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n - 1} \\ x_{n} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} 0_{1 \times n} \\ x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n - 2} \\ x_{n - 1} \end{matrix}) \forall x_{1}, \dots, x_{n} \in Mat (1, n; K)

체 $K$ 위의 $n \times n$ 상·하시프트 행렬 $U_{n}, L_{n} \in Mat (n; K)$ 의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.

\cdot U_{n} : Mat (m, n; K) \to Mat (m, n; K)

\cdot U_{n} : (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n - 1} & x_{n} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} 0_{m \times 1} & x_{1} & \dots & x_{n - 2} & x_{n - 1} \end{matrix}) \forall x_{1}, \dots, x_{n} \in Mat (m, 1; K)

\cdot L_{n} : Mat (m, n; K) \to Mat (m, n; K)

\cdot L_{n} : (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n - 1} & x_{n} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} & 0_{m \times 1} \end{matrix}) \forall x_{1}, \dots, x_{n} \in Mat (m, 1; K)

체 $K$ 위의 $n \times n$ 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 $U_{n}, L_{n} \in Mat (n; K)$ 은 $n$ 을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다.

U_{n}^{n} = 0_{n \times n}

L_{n}^{n} = 0_{n \times n}

U_{n}^{n - 1} = E_{1 n} = (δ_{i, 1} δ_{j, n})_{i, j = 1}^{n}

L_{n}^{n - 1} = E_{n 1} = (δ_{i, n} δ_{j, 1})_{i, j = 1}^{n}

행렬

M = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix})

이 주어졌다면,

U_{5} M = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

L_{5} M = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \end{matrix})

M U_{5} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix})

M L_{5} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

이다.