애니온

통계역학에서 애니온(영어: anyon)은 2+1차원 계에서 나타나는, 보손도 아니고 페르미온도 아닌 입자이다.

정의

스핀-통계 정리는 4차원 이상 민코프스키 공간에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 $SO(2,1)$이 무한한 크기의 기본군을 갖기 때문이다. 즉, $d>3$인 경우

${\pi }_1(SO(d-1,1))=\mathbb{Z}/2$

이므로, 그 범피복 공간

$SO(d-1,1)\to \mathrm{Spin}(d-1,1)\twoheadrightarrow \mathbb{Z}/2$

의 표현은 $\mathbb{Z}/2$에 따라 보손과 페르미온으로 나뉜다. 반면 $d=3$인 경우

${\pi }_1(SO(2,1))=\mathbb{Z}$

이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다.

3차원 시공간에서 n개의 점입자들은 일반적으로 꼬임군

$\mathrm{Braid}(n)=⟨{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}|{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1},{\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i⟩$

의 표현을 따른다. 이 경우, 보손은 $\mathrm{Braid}(n)$의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, 페르미온은 군 준동형

${\sigma }_i\mapsto 1\in \{0,1\}\cong \mathbb{Z}/2$

의 상

$\mathrm{Braid}(n)\to \mathbb{Z}/2$

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 $-1$이 곱해진다.)

아벨 애니온 통계

아벨 애니온(영어: Abelian anyon)은 상

$\mathrm{Braid}(n)\to \mathbb{Z}\cong ⟨1⟩$

${\sigma }_i\mapsto 1$

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 $\theta \ne 0,\pi$에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때

$|{\psi }_i{\psi }_j⟩=\exp (i\theta )|{\psi }_j{\psi }_i⟩$

를 따른다. 여기서 $\theta =0$이면 보손, $\theta =\pi$이면 페르미온이 된다.

아벨 애니온은 꼬임군 $\mathrm{Braid}(n)$의 복소수 1차원 표현에 대응한다. 즉, 군 준동형

$B_n\to U(1)$

에 대응한다. 원군 $U(1)$은 아벨 군이므로, 이는 $\mathrm{Braid}(n)$의 아벨화를 거친다.

$B_n\twoheadrightarrow \mathrm{Braid}(n)/[\mathrm{Braid}(n),\mathrm{Braid}(n)]\cong \mathbb{Z}\to U(1)$

꼬임군의 아벨화는 무한 순환군 $\mathbb{Z}$이다. 구체적으로, 꼬임군의 표시

$\mathrm{Braid}(n)=⟨{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}|{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1},{\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i\mathrm{\forall }|i-j|>1⟩$

에 대하여,

$\mathrm{Braid}(n)\twoheadrightarrow \mathbb{Z}$

${\sigma }_i\mapsto 1\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n-1$

이다. 준동형 $\mathbb{Z}\to U(1)$은 물론 임의의 복소수 $\exp (i\theta )\in U(1)$에 따라 분류된다.

꼬임 통계

비아벨 애니온(영어: non-Abelian anyon)은 꼬임군 $\mathrm{Braid}(n)$의 일반적인 고차원 표현을 따르는 입자이며, 이러한 입자가 따르는 통계를 꼬임 통계(영어: braid statistics)라고 한다.

파라 통계

비아벨 애니온 가운데, 표현이 대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$을 거치는 것을 파라 통계(영어: parastatistics)라고 한다.

$\mathrm{Braid}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{Sym}(n)\to \mathrm{U}(k)$

파라 통계는 어떤 정수 $p$에 의하여 정의되며, 이를 파라 통계의 차수(영어: order)라고 한다. 파라 보손(영어: paraboson)의 경우, 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 $p$개 이하의 행을 갖는 것들의 직합이며, 파라 페르미온(영어: parafermion)의 경우 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 $p$개 이하의 열을 갖는 것들의 직합이다. 만약 $p\to \mathrm{\infty }$를 취한다면, 맥스웰-볼츠만 통계를 얻는다. 즉, 모든 입자를 서로 구별할 수 있다.

파라 보손 · 페르미온은 고차원에서도 정의될 수 있지만, 이는 3+1차원 이상의 입자에 대해서는 클라인 변환(영어: Klein transformation)을 통하여 일반 보손 · 페르미온으로 나타낼 수 있다.

구체적으로, 파라 보손 장 $\varphi$는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

$\varphi =\sum _{i=1}^p{\varphi }_i$

$[{\varphi }_i(𝐱),{\varphi }_i(𝐲)]=0$

$\{{\varphi }_i(𝐱),{\varphi }_j(𝐲)\}=0(i\ne j)$

마찬가지로, 파라 페르미온 장 $\psi$는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

$\psi =\sum _{i=1}^p{\psi }_i$

$\{{\psi }_i(𝐱),{\psi }_i(𝐲)\}=0$

$[{\psi }_i(𝐱),{\psi }_j(𝐲)]=0(i\ne j)$

예

분수 양자 홀 효과

아벨 애니온의 간단한 예는 자기 선속 $\Phi$와 결합한, 전하 $q$를 갖는 입자이다. 이러한 두 개의 합성 입자를 서로 교환하면, 자기 선속에 의하여 위상

$\exp (iq\Phi /\hslash )$

이 발생한다. 이러한 현상은 분수 양자 홀 효과를 일으킨다.

2차원 등각 장론

2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다. 2차원 등각 장론에서, 국소 연산자의 상관 함수는 다음과 같이 등각 블록(영어: conformal block)에 의하여 전개된다.

$⟨{\varphi }_k(z_k)\cdots {\varphi }_2(z_2){\varphi }_1(z_1)⟩=\sum _{p}C(h_1,\dots ,h_k;h_p)F_{h_1,\dots ,h_k}(h_p;z_1,\dots ,z_k){\overline{F}}_{{\overline{h}}_1,\dots ,{\overline{h}}_k}({\overline{h}}_p;{\overline{z}}_1,\dots ,{\overline{z}}_k)$

가능한 등각 블록들은 복소수 벡터 공간을 이루며, 유리 등각 장론(영어: rational conformal field theory)의 경우 이는 유한 차원이다.

이 경우, 만약 $k$개의 국소 연산자들의 순서를 뒤섞는다면 모노드로미가 존재하며, 이는 등각 블록들의 공간에 선형 작용소로 표현된다. 이러한 행렬들을 꼬임 행렬(영어: braiding matrix) $B$라고 하며, 이는 꼬임군의 표현을 정의한다. 이에 따라, 2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.

역사

1953년에 허버트 시드니 그린(영어: Herbert Sidney Green)이 파라 입자의 가능성을 지적하였다.

1977년에 욘 망네 레이노스(노르웨이어: Jon Magne Leinaas)와 얀 뮈르헤임(노르웨이어: Jan Myrheim)이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다. 1982년에 프랭크 윌첵이 이들이 분수 양자 홀 효과에 등장함을 보였고, "애니온"이라는 이름을 붙였다. 여기서 "애니온"(영어: anyon 에니온^[*])은 영어: any 에니^[*](어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + 영어: -on 온^[*](입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다.

“	이러한 두 입자를 교환시키면 임의의(영어: any) 위상을 얻을 수 있으므로, 이러한 입자들을 "애니온"이라고 부르겠다. Since interchange of two of these particles can give any phase, I will call them generically anyons.	”
	—

비아벨 애니온은 1988년에 위르크 프뢸리히(독일어: Jürg Martin Fröhlich)와 피에르 알베르토 마르케티(이탈리아어: Pier Alberto Marchetti)가 도입하였다.

참고 문헌

• Rao, Sumathi (1992). “An anyon primer” (영어). arXiv:hep-th/9209066. Bibcode:1992hep.th....9066R. 
• Nayak, Chetan; Simon, Steven; Stern, Ady; Freedman, Michael; Das Sarma, Sankar (2008). “Non-Abelian anyons and topological quantum computation” (영어). 《Reviews of Modern Physics》 80 (3): 1083. arXiv:0707.1889. Bibcode:2008RvMP...80.1083N. doi:10.1103/RevModPhys.80.1083. ISSN 0034-6861. 
• Stern, Ady (2008). “Anyons and the quantum Hall effect—A pedagogical review” (영어). 《Annals of Physics》 323: 204. arXiv:0711.4697. Bibcode:2008AnPhy.323..204S. doi:10.1016/j.aop.2007.10.008. 
• Wen, Xiao-Gang; Zhenghan Wang. 〈Pattern-of-zeros approach to Fractional quantum Hall states and a classification of symmetric polynomial of infinite variables〉 (영어). 《Conformal Field Theories and Tensor Categories: Proceedings of a Workshop Held at Beijing International Center for Mathematical Research》. Springer. arXiv:1203.3268. Bibcode:2012arXiv1203.3268W. doi:10.1007/978-3-642-39383-9_2. ISBN 978-3-642-39382-2. 
• Antoniadis, Ignatios; Bachas, Constantin (1986년 12월 8일). “Conformal invariance and parastatistics in two dimensions” (영어). 《Nuclear Physics B》 278 (2): 343–352. doi:10.1016/0550-3213(86)90217-8. 2015년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 5월 9일에 확인함. 
• Alicea, Jason; Fendley, Paul. “Topological phase with parafermions: theory and blueprints” (영어). 《Annual Reviews of Condensed Matter Physics》. arXiv:1504.02476. Bibcode:2015arXiv150402476A. 

외부 링크

• “Braid group statistics” (영어). 《nLab》. 
• “Parastatistics” (영어). 《nLab》.