에르미트 항등식

섬네일을 만드는 중 오류 발생: 비슷한 이름의 에르미트 다항식에 관해서는 해당 문서를 참고하십시오.

에르미트 항등식이란 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 임의의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 항상 성립하는 항등식이다. 이는 다음과 같다.

$\sum _{k=0}^{n-1}[x+\frac{k}{n}]=[x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +[x+\frac{n-1}{n}]=[nx]$

(단, $[x]$는 가우스 기호이다. 이는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

증명

[증명 1-대수(해석)적 증명법]

$f(x)=[x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +[x+\frac{n-1}{n}]-[nx]$라고 가정하자.

그러므로, $f(x)=0$임을 증명하면 된다.

$x=x+\frac{1}{n}$를 대입해 주면,

$f(x+\frac{1}{n})=[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +[x+1]-[nx+1]=[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +\left[x\right]+1-[nx]-1=f(x)$

가 된다.

즉, $f(x)$은 주기가 $\frac{1}{n}$인 주기함수가 된다.

(추가로 $f(x)=f(x+p)$일 때 $f(x)$는 주기가 $p$인 함수이다.)

그러므로 $0\le x<\frac{1}{n}$인 $x$에 대하여 $f(x)=0$임을 증명하면 되는 것이다.

$0\le x<\frac{1}{n},[x]=0$

$0\le x+\frac{1}{n}<\frac{2}{n},[x+\frac{1}{n}]=0$

.

.

.

$0\le x+\frac{n-1}{n}<1,[x+\frac{n-1}{n}]=0$

$0\le nx<1,[nx]=0$

위의 식을 다 더하면 $f(x)=0$.

따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

[증명2-정수적 증명(바닥함수의 정의 이용)]

$x=m+\alpha$라고 가정하자. (단, $m$은 정수, $0\le \alpha <1$이다.)

$[x]=[m+\alpha ]=m,[x+1]=[m+\alpha ]+1=m+1$임을 알 수 있다.

이때, $[x]=[x+\frac{1}{n}]=[x+\frac{2}{n}]=\cdots =[x+\frac{i-1}{n}]=m$,

$[x+\frac{i}{n}]=[x+\frac{i+1}{n}]=[x+\frac{i+2}{n}]=\cdots =[x+\frac{n-1}{n}]=m+1$이 성립한다고 가정하면,

$\sum _{k=0}^{n-1}[x+\frac{k}{n}]=n[x]+n-i$가 성립한다. ($i$는 자연수)

또한, 두 부등식 $\alpha +\frac{i-1}{n}<1$, $\alpha +\frac{i}{n}\ge 1$을 연립하여 정리하면,

$n-i\le n\alpha <n-i+1$이 되고 양변에 $n[x]$를 더해 주면,

$n[x]+n-i\le n[x]+n\alpha <n[x]+n-i+1$이 되고, $x=m+\alpha$ 이므로,

$n[x]+n-i\le nx<n[x]+n-i+1$이다.

따라서 $[nx]=n[x]+n-i=\sum _{k=0}^{n-1}[x+\frac{k}{n}]$이므로,

$\sum _{k=0}^{n-1}[x+\frac{k}{n}]=[x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +[x+\frac{n-1}{n}]=[nx]$

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.