에르미트 다항식

파일:Confusion grey.svg 비슷한 이름의 에르미트 항등식에 관해서는 해당 문서를 참고하십시오.

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확률론 에르미트 다항식 $H_n(x)$의 그래프 ($n=1,\dots ,6$)

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물리학 에르미트 다항식 ${\tilde{H}}_n(x)$의 그래프 ($n=1,\dots ,6$)

수학에서 에르미트 다항식(Hermite多項式, 영어: Hermite polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다.

정의

에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) 에르미트 다항식 $H_n(x)$은 다음과 같다.

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2/2}={(x-\frac{d}{dx})}^{n}1=\exp (-\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{x}^2})x^n$

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 ${\tilde{H}}_n(x)$은 다음과 같다.

${\tilde{H}}_n(x)=2^{n/2}{H}_n(\sqrt{2}x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}={(2x-\frac{d}{dx})}^{n}1$

이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.

$\exp (-t^2/2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_n{t}^n/n!$

$h_n=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^{n/2}(n-1)!!& 2\mid n\\ 0& 2\nmid n\end{array}$

여기서

$n!!=\prod _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots$

는 이중 계승이다. 그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$H_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})h_k{x}^{n-k}$

이는 아펠 다항식열의 음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 $𝗁$에 대하여 선형 범함수

$L:{𝗁}^n\to h_n$

를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.

$H_n(x)=L((x+𝗁{)}^n)$

${\tilde{H}}_n(x)=L((2x+\sqrt{2}𝗁{)}^n)$

즉, 구체적으로 $L$은 다음과 같다.

$L:\mathbb{Q}[x+𝗁]\mapsto \mathbb{Q}[x]$

$L={\mathrm{eval}}_{x+𝗁\mapsto x}\exp (-\frac{d^2}{d(x+𝗁{)}^2})$

$L$의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.

$L^{-1}:\mathbb{Q}[x]\mapsto \mathbb{Q}[x+𝗁]$

$L^{-1}={\mathrm{eval}}_{x\mapsto x+𝗁}\exp \left(\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{x}^2}\right)$

성질

직교성

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m(x)H_n(x)\exp (-x^2/2)dx=\sqrt{2\pi }n!{\delta }_{mn}$

여기서 ${\delta }_{mn}$은 크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 $L^2(ℝ,\exp (-x^2/2))$의 완비기저를 이룬다. 여기서 $L^2(ℝ,\exp (-x^2/2))$은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.

$⟨f|g⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{f}(x)g(x)\exp (-x^2/2)dx$

에르미트 미분 방정식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 에르미트 미분 방정식(영어: Hermite differential equation)의 해를 이룬다.

$\frac{d}{dx}(\exp (-x^2/2)\frac{d}{dx}H)=\lambda \exp (-x^2/2)H$

여기서 $\lambda$는 임의의 상수이다. 즉, $H$는 미분 연산자

$\exp (x^2/2)\frac{d}{dx}\exp (-x^2/2)\frac{d}{dx}$

의 고유함수이다.

점화식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수

$L^{-1}:H_n(x)\mapsto (x+𝗁{)}^n$

$L^{-1}={\mathrm{eval}}_{x\mapsto x+𝗁}\exp \left(\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{x}^2}\right)$

를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.

$H_{n+1}(x)=(x-\frac{d}{d(d/dx)}\ln \exp ((d/dx{)}^2/2))H_n(x)=(x-\frac{d}{dx})H_n(x)=x{H}_n(x)-n{H}_{n-1}(x)$

즉

$H_{n+1}(x)=x{H}_n(x)-n{H}_{n-1}(x)$

${\tilde{H}}_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x)$

이다.

생성 함수

에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n(x)t^n/n!=\exp (xt-t^2/2)$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\tilde{H}}_n(x)t^n/n!=\exp (2xt-t^2)$

이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_n{t}^n/n!=L(t𝗁)=\exp (-t^2/2)$

로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n(x)t^n/n!=L\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (t(x+𝗁))=\exp (xt)L\exp (t𝗁)=\exp (xt-t^2/2)$

이다.

미분과 적분

(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}{H}_n(x)=n{H}_{n-1}(x)$

$\frac{d}{dx}{\tilde{H}}_n(x)=2n{\tilde{H}}_{n-1}(x)$

에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.

$\frac{d}{dx}{H}_n(x)=\frac{d}{dx}L((x+𝗁{)}^n)=L(\frac{d}{dx}(x+𝗁{)}^n)=L(n(x+𝗁{)}^{n-1})=n{H}_{n-1}(x)$

갈루아 군

$2n\ne 0,2$인 경우, $H_{2n}(x)\in \mathbb{Z}[x]$는 기약원이다. $2n+1\ne 1,3,3^2,\dots$인 경우, $x^{-1}{H}_{2n+1}(x)\in \mathbb{Z}[x]$는 기약원이다.

다음과 같은 다항식열 $K_n(x),{K_n}^{\prime }(x)\in \mathbb{Z}[x]$을 정의하자.

$H_{2n}(x)=K_n(x^2)$

$H_{2n+1}(x)=x{K_n}^{\prime }(x^2)$

이들 다항식의 $\mathbb{Q}$ 위의 분해체의 갈루아 군은 항상 대칭군이다.^{:274, Example 8(b)}

$\mathrm{Gal}(K_n)\cong \mathrm{Sym}(n)$

$\mathrm{Gal}({K_n}^{\prime })\cong \mathrm{Sym}(n)$

표

확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A096713)

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=x$

$H_2(x)=x^2-1$

$H_3(x)=x^3-3x$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15$

$H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x$

$H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105$

$H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945$

물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

${\tilde{H}}_0(x)=1$

${\tilde{H}}_1(x)=2x$

${\tilde{H}}_2(x)=4x^2-2$

${\tilde{H}}_3(x)=8x^3-12x$

${\tilde{H}}_4(x)=16x^4-48x^2+12$

${\tilde{H}}_5(x)=32x^5-160x^3+120x$

${\tilde{H}}_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120$

${\tilde{H}}_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x$

${\tilde{H}}_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680$

${\tilde{H}}_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x$

${\tilde{H}}_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240$

역사

에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다. 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다. 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고, 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

응용

에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

같이 보기

• 르장드르 다항식

참고 문헌

• Szegő, Gábor (1955). 《Orthogonal Polynomials》 2판 (영어). American Mathematical Society.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Temme, Nico (1996). 《Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics》 (영어). New York: Wiley. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hermite Polynomial” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Hermite polynomials” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.