줄기 (수학)

층 이론에서, 줄기(영어: stalk, 프랑스어: fibre)는 어떤 층이 어떤 한 점에서 가질 수 있는 값들의 공간이다. 줄기들의 집합은 에탈레 공간(영어: étalé space, 프랑스어: espace étalé)을 이룬다.

정의

위상 공간 $X$ 위의, 범주 $𝒞$ 의 값을 갖는 준층 $ℱ$ 가 주어졌을 때, $ℱ$ 의 점 $x \in X$ 에서의 줄기 $ℱ_{x}$ 는 $x$ 의 모든 열린 근방에 대하여 취한, 다음과 같은 귀납적 극한이다.

ℱ_{x} = \underset{U ∋ x}{\lim_{\to}} Γ (U; ℱ) \in Ob (𝒞)

이러한 귀납적 극한이 항상 존재할 필요는 없지만, 일반적으로 많이 쓰이는 경우인 $𝒞$ 가 집합이나 아벨 군이나 가환환의 범주인 경우에는 항상 존재한다. 정의에 따라, 점 x의 임의의 열린 근방 $U ∋ x$ 에 대하여, 자연스러운 $𝒞$ -사상

ϕ_{U, x} : Γ (U; ℱ) \to ℱ_{x}

가 존재한다.

싹

$𝒞$ 가 구체적 범주라고 하자. 임의의 단면 $s \in Γ (U; ℱ)$ 에 대하여, $ϕ_{U, x} (s) \in ℱ_{x}$ 를 $s$ 의 $x$ 에서의 싹(영어: germ) $s$ 라고 한다. 이는 수학의 다른 분야에서 쓰이는 싹의 개념을 일반화한 것이다. $s_{x}$ 는 $s$ 의 $x$ 에서의 국소적 정보를 담는다.

에탈레 공간

위상 공간 $X$ 및 그 위의 집합 값을 갖는 준층 $ℱ$ 에 대하여, $ℱ$ 의 에탈레 공간은 다음 성질을 만족시키는 위상 공간 $E_{ℱ}$ 이다.

국소 위상동형사상(local homeomorphism) $π_{ℱ} : E_{ℱ} \to X$ 이 있다.
$ℱ$ 의 층화는 $π_{ℱ}$ 의 단면들의 층과 동형이다. 여기서 "단면"이란 $π_{ℱ} \circ s = {id}_{X}$ 인 연속 함수 $s : X \to E_{ℱ}$ 이다.

여기서, "에탈레"(프랑스어: étalé)는 에탈 코호몰로지·에탈 사상·에탈 기본군 등의 "에탈"(프랑스어: étale)과는 관계없는 개념이다.

구체적으로, $ℱ$ 의 에탈레 공간은 집합으로서 모든 줄기들의 분리합집합이다.

E_{ℱ} = ⨆_{x \in X} ℱ_{x}

이 위에 다음과 같은 위상을 준다. 임의의 열린집합 $U \subseteq X$ 및 단면 $s \in Γ (U; ℱ)$ 에 대하여,

U_{s} = {s_{x} \in E : x \in U} \subseteq E_{ℱ}

를 정의하자. 이는 위상 공간의 기저의 공리들을 만족시키며, 따라서, 이를 기저로 하는 위상을 줄 수 있다.

성질

에탈레 공간에서, 각 줄기 $ℱ_{x} \subseteq E_{ℱ}$ 는 이산 공간을 이룬다.

다양체 위의 실수값 연속 함수의 층이나, 매끄러운 다양체 위의 실수값 매끄러운 함수의 에탈레 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.

예

일부 층들에 대해서는 싹은 잘 작동하지만, 일부 경우는 그렇지 않다. 예를 들어, 해석 함수의 어떤 점에서의 싹은, 그 점 주변에서의 그 함수의 행동을 완전하게 결정해 버린다. 이것은 복소해석학의 테일러 급수에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 반면, 매끄러운 함수에 대해서 어떤 점에서의 싹을 보는 경우, 이 주변에서의 함수의 행동에 대해서 이 싹이 아무런 정보도 주지 못한다. 예를 들어, 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 지지집합 밖에서의 싹만으로는 전혀 알 수 없다.

함수의 싹

위상 공간 $X$ 및 집합 $Y$ 가 주어졌을 때, $X \to Y$ 함수들의 층(또는 그 임의의 부분층, 예를 들어 $Y$ 에 위상울 주었을 때, 연속 함수의 층)을 생각하자. 이 경우, 싹은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 함수의 집합에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 임의의 열린집합 $U, V ∋ x$ 및 두 함수

f : U \to Y

g : V \to Y

에 대하여,

f |_{W} = g |_{W}

인 $x$ 의 근방 $W ∋ x$ , $W \subseteq U \cap V$ 가 존재한다면

f \sim_{x} g

라고 하자. 그렇다면 $f$ 의 $x$ 에서의 싹은 동치관계 $\sim_{x}$ 에 대한 동치류이다.

아핀 스킴 위의 준연접층

아핀 스킴 $Spec R$ 위의 준연접층은 $R$ -가군에 대응한다. $R$ -가군 $M$ 에 대응하는 준연접층의, 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec R$ 에서의 줄기는 국소화 $M_{𝔭}$ 이다.

역사

싹의 개념은 고전적이다. 줄기의 개념은 1950년 카르탕 세미나에서 등장하였다.

"에탈레 공간"이라는 용어는 로제 고드망이 호몰로지 대수학에 대한 책과 층 이론에 대한 책 《대수적 위상수학과 층론》(프랑스어: Topologie álgebrique et théorie des faisceaux)에서 처음으로 사용하였다. 고드망은 층을 에탈레 공간의 단면으로 정의하였으며, 준층을 사용하는 층의 현대적인 정의는 비교적 최근에 등장하였다.

외부 링크

Chirka, Evgeniǐ Mikhaǐlovich (2001). “Germ” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Etale space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Stalk” (영어). 《nLab》.
“Germ” (영어). 《nLab》.
“Etale space” (영어). 《nLab》.

같이 보기

상수층

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