영다양체

미분위상수학에서 영다양체(零多樣體, 영어: nilmanifold)는 멱영 리 군의 몫공간으로 얻어지는 동차공간이다. 해다양체의 특수한 경우이며, 기하화 추측에서 3차원 다양체를 분류하는 기하 가운데 하나이다.

정의

연결 멱영 리 군 $N$ 속의 격자(영어: lattice)는 다음 조건들을 만족시키는 부분군 $\Gamma \le N$이다.

• $\Gamma$는 이산 공간이다.
• 몫공간 $N/\Gamma$는 콤팩트 공간이다.

연결 멱영 리 군 $N$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $N$은 (하나 이상의) 격자를 갖는다.
• (말체프 조건 영어: Mal’cev condition) 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수 $\mathrm{Lie}(N)$의 기저가 존재한다.

연결 매끄러운 다양체 $M$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 연결 매끄러운 다양체를 영다양체라고 한다.

• 연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간이다. 즉, 연결 멱영 리 군 $N$의 추이적 작용 $\cdot :N\times M\to M$이 존재하며, 모든 $g\in N$에 대하여 $g\cdot :M\to M$이 미분 동형을 이룬다.
• $M\cong \Gamma \mathrm{\setminus }N$이 되는 연결 멱영 리 군 $N$ 및 격자 $\Gamma \le N$이 존재한다.
• 반복된 U(1) 주다발과 유클리드 공간의 곱공간과 미분 동형이다. 즉, $M\cong {ℝ}^k\times P_n$이며 $M_0=\{\bullet \}$(한원소 공간)인 매끄러운 주다발의 열 $\mathrm{U}(1)\to M_i\to M_{i-1}$ $(i\in \{1,\dots ,n\})$이 존재한다.^{:Theorem 1}

즉, 멱영 리 군에 대한 동차 공간의 안정자군은 격자를 이룬다.

성질

모든 영다양체는 자명하게 해다양체이며, 따라서 해다양체의 성질들을 만족시킨다. 특히, 영다양체의 2차 이상 호모토피 군은 모두 자명하며, 콤팩트 영다양체는 그 기본군으로 완전히 분류된다.

모든 영다양체는 콤팩트 영다양체와 유클리드 공간의 곱공간이다. 따라서 영다양체의 분류는 콤팩트 영다양체의 분류로 귀결된다.

원환면이 아닌 콤팩트 영다양체는 형식적 공간이 아니며, 특히 켈러 구조를 가질 수 없다. 정의에 따라, 모든 영다양체는 가향 다양체이며, 추가로 평행화 가능 다양체이다.^{:163, Corollary 4.1.3}

군 $G$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G\cong {\pi }_1(M)$이 되는 영다양체 $M$이 존재한다.
• $G$는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군이다.

예

모든 연결 아벨 리 군은 영다양체이다. 특히, 원환면 ${𝕋}^n\cong {ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$은 콤팩트 영다양체이다.

하이젠베르크 군 $\mathrm{H}(n;ℝ)$는 $n(n-1)/2$차원 멱영 리 군을 이룬다. 정수 계수 하이젠베르크 군 $\mathrm{H}(n;\mathbb{Z})$은 그 속의 격자를 이루며, $\mathrm{H}(n;ℝ)/\mathrm{H}(n;\mathbb{Z})$은 영다양체를 이룬다.

낮은 차원의 영다양체

2차원 이하

2차원 이하의 연결 영다양체는 원환면과 유클리드 공간의 곱공간 밖에 없다. 콤팩트 영다양체를 구성하려면, 1차원에서는 한원소 공간 위에 하나의 U(1) 주다발이 존재하며, 2차원에서는 원 위의 U(1) 주다발은 역시 하나 밖에 없다. (원 위에는 두 개의 원다발이 존재하며, 이는 각각 원환면과 클라인 병에 해당한다. 그러나 후자의 경우는 U(1) 주다발을 이루지 못한다.)

3차원 콤팩트 영다양체

3차원 콤팩트 영다양체는 자연수에 의하여 분류된다. 구체적으로, 2차원 원환면 ${𝕋}^2$ 위의 U(1) 주다발 $P$는 그 연관 복소수 선다발의 천 특성류의 적분인 2차 코호몰로지

${\mathrm{c}}_1(P)\in {\mathrm{H}}^2({𝕋}^2)\cong \mathbb{Z}$

로 분류된다. 그런데 이 경우 $P$와 반대 방항을 갖는 주다발 $\overline{P}$은 서로 미분 동형인 다양체를 정의한다. 즉, 3차원 연결 콤팩트 영다양체의 미분 동형 동치류는 자연수 $p\in \mathbb{N}$로 분류된다. 이 가운데, 3차원 원환면은 $p=0$에 해당한다.

이는 다음과 같이 하이젠베르크 군의 몫으로 표현될 수 있다.^{:161, Example 4.1.1} 하이젠베르크 군

$\mathrm{Heis}(1;ℝ)=\{\left(\begin{array}{ccc}1& x& z\\ 0& 1& y\\ 0& 0& 1\end{array}\right):x,y,z\in ℝ\}$

속에서, 리 군 곱셈 규칙이

$(x,y,z)\cdot (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=(x+x^{\prime },y+y^{\prime },x{y}^{\prime }+z+z^{\prime })$

이므로, 격자

${\Gamma }_{m,n,p}=\{\left(\begin{array}{ccc}1& x& z\\ 0& 1& y\\ 0& 0& 1\end{array}\right):x\in m^{-1}\mathbb{Z},y\in n^{-1}\mathbb{Z},z\in m^{-1}{n}^{-1}{p}^{-1}\mathbb{Z}\}(m,n,p\in {\mathbb{Z}}^{+})$

를 고를 수 있으며,

${\Gamma }_{m,n,p}\mathrm{\setminus }\mathrm{Heis}(1;ℝ)$

는 콤팩트 영다양체를 이룬다. 사영 사상

${\Gamma }_{m,n,p}\mathrm{\setminus }\mathrm{Heis}(1;ℝ)\twoheadrightarrow (ℝ/m^{-1}\mathbb{Z})\times (ℝ/n^{-1}\mathbb{Z})={𝕋}^2$

$(x,y,z)\mapsto (x,y)$

아래, 이는 2차원 원환면 위의 원다발을 이룬다. 이 경우, ${\Gamma }_{m,n,p}\mathrm{\setminus }\mathrm{Heis}(1;ℝ)$는 ${\Gamma }_{1,1,p}\mathrm{\setminus }\mathrm{Heis}(1;ℝ)$와 미분 동형이다.^{:163, §4.1.3} 다시 말해, 모든 3차원 콤팩트 연결 영다양체는 ${𝕋}^3$ 또는 ${\Gamma }_{1,1,p}\mathrm{\setminus }\mathrm{Heis}(1;ℝ)$ ($p\in {\mathbb{Z}}^{+}$)와 미분 동형이다.^{:162–163, Corollary 4.1.2}

역사

아나톨리 말체프가 1949년에 도입하였고, ‘영다양체’(러시아어: нильмногообразие 닐므노고오브라지예^[*])라는 용어를 정의하였다.

외부 링크

• “Nil manifold” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Nil flow” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nilmanifold” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.