설리번 대수

호모토피 이론에서 설리번 대수(Sullivan代數, 영어: Sullivan algebra)는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다. 이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분(즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 유리수 호모토피 이론(有理數homotopy理論, 영어: rational homotopy theory)이라고 한다.

정의

체 $K$ 위의 설리번 대수 $(B,\le ,\mathrm{deg},\mathrm{d})$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^{:Definition 1.10}

• 정렬 집합 $(B,\le )$. 이로부터 $K$-벡터 공간 $V={\mathrm{Span}}_{K}B$을 정의할 수 있다.
• 함수 $\mathrm{deg}:B\to \mathbb{N}$. 이로부터 등급 벡터 공간 $V=\underset{i\in \mathbb{N}}{⨁}{V}_i$, $V_i=\mathrm{Span}\{b\in B:\mathrm{deg}b=i\}$을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 $\bigwedge (V)$를 정의할 수 있으며, 이는 가환 $K$-등급 대수를 이룬다.
• 함수 $\mathrm{d}:B\to \bigwedge (V)$. 이는 선형성 및 곱 규칙을 사용하여 미분 연산 $\mathrm{d}:\bigwedge (V)\to \bigwedge (V)$로 연장된다.

이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $b\in B$에 대하여, $\mathrm{d}b\in \bigwedge ({\mathrm{Span}}_K\{c\in B:c<b\})$이다.
• $(\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm{d})$는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

설리번 대수 $(B,\le ,\mathrm{deg},\mathrm{d})$가 다음 조건을 만족시킨다면, 최소 설리번 대수(最少Sullivan代數, 영어: minimal Sullivan algebra)라고 한다.

$\mathrm{deg}:(B,\le )\to (\mathbb{N},\le )$는 증가 함수이다. 즉, 임의의 $b,c\in B$에 대하여 $b\le c$라면 $\mathrm{deg}b\le \mathrm{deg}c$이다.^{:Definition 1.10}

상대 설리번 대수

보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.

체 $K$ 위의 가환 미분 등급 대수 $A$ 위의 상대 설리번 대수(相對Sullivan代數, 영어: relative Sullivan algebra)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 정렬 집합 $(B,\le )$. 이로부터 $K$-벡터 공간 $V={\mathrm{Span}}_{K}B$을 정의할 수 있다.
• 함수 $\mathrm{deg}:B\to \mathbb{N}$. 이로부터 등급 벡터 공간 $V=\underset{i\in \mathbb{N}}{⨁}{V}_i$, $V_i=\mathrm{Span}\{b\in B:\mathrm{deg}b=i\}$을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 $\bigwedge (V)$를 정의할 수 있으며, 이는 가환 $K$-등급 대수를 이룬다.
• 함수 $\mathrm{d}:B\to A{\otimes }_K\bigwedge (V)$. 이를 선형성 및 곱 규칙에 따라 $\mathrm{d}:A{\otimes }_K\bigwedge (V)\to A{\otimes }_K\bigwedge (V)$로 연장시킬 수 있다.

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $a\in A$ 및 $b\in B$에 대하여, $\mathrm{d}b\in A{\otimes }_K\bigwedge ({\mathrm{Span}}_K\{c\in B:c<b\})$이다.
• $(A{\otimes }_K\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm{d})$는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이 정의에서, 만약 $\mathrm{deg}:(B,\le )\to (\mathbb{N},\le )$가 증가 함수라면, 이를 최소 상대 설리번 대수(最小相對Sullivan代數, 영어: minimal relative Sullivan algebra)라고 한다.

설리번 대수는 $(K,\mathrm{d}=0)$ 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 $(K,\mathrm{d}=0)$ 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.

연산

가환 미분 등급 대수 $A$에 대한 임의의 상대 설리번 대수 $(B,\le ,\mathrm{deg},\mathrm{d})$에 대하여, 임의의 $b\in B$에 대하여, $B^{\prime }=\{b^{\prime }\in B:b^{\prime }<b\}$를 정의하면, $(B^{\prime },\le \upharpoonright B{\text{'}}^2,\mathrm{deg}\upharpoonright B^{\prime },\mathrm{d}\upharpoonright B^{\prime })$ 역시 $A$ 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 $\upharpoonright$은 함수의 제한을 뜻한다.)

또한, 만약 $B$가 최소 상대 설리번 대수라면 $B^{\prime }$ 역시 최소 상대 설리번 대수이다.

성질

낮은 차수가 자명한 설리번 대수

집합 $B$ 및 함수

$\mathrm{deg}:B\to \mathbb{N}$

및 임의의 함수

$\mathrm{d}:B\to V=\bigwedge ({\mathrm{Span}}_{K}B)$

가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여

$\mathrm{d}:V\to V$

로 연장시킬 수 있다. $(V,\mathrm{d},\wedge )$가 미분 등급 대수를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:Remark 1.11}

• 만약 $\mathrm{\forall }b\in B:\mathrm{deg}b\ge 2$라면, $B$ 위에는 항상 $(B,\le ,\mathrm{deg},\mathrm{d})$가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 $\le$를 부여할 수 있다.
• 만약 $\mathrm{\forall }b\in B:\mathrm{deg}b\ge 2$이며, 임의의 $b\in B$에 대하여 $\mathrm{d}b\in \underset{n\ge 2}{⨁}({\mathrm{Span}}_{K}B{)}^{\wedge n}$이라면 (즉, $\mathrm{d}b$가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합이라면), $B$ 위에는 항상 $(B,\le ,\mathrm{deg},\mathrm{d})$가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 $\le$를 부여할 수 있다.

또한, 만약 $\mathrm{\forall }b\in B:\mathrm{deg}b\ge 2$일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.

위상 공간의 설리번 대수

임의의 단체 복합체(와 호모토피 동치인 위상 공간) $X$에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 $A_{\text{PL}}(X)$를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. 형식적 공간(영어: formal space)은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 유리수 호모토피 동치(영어: rational homotopy equivalence)와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

위상 공간의 호모토피 군

단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 $X$의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수가 설리번 대수 $(B,\le ,\mathrm{deg},\mathrm{d})$와 유사동형이라고 하자. 또한, $X$가 멱영 공간이라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\pi }_i(X){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\cong {\mathrm{Span}}_{\mathbb{Q}}{\mathrm{deg}}^{-1}(i)$

즉, $X$의 $i$차 호모토피 군의 계수는 차수 $i$를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.

이분율

코호몰로지

$\underset{i}{⨁}{\mathrm{H}}^i(X)$

의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 $X$는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.

• 타원형(영어: elliptic): $\dim \underset{i}{⨁}{\pi }_i(X)<\mathrm{\infty }$
• 쌍곡형(영어: hyperbolic): $\dim \underset{i}{⨁}{\pi }_i(X)=\mathrm{\infty }$

타원형 최소 설리번 대수 $X$에 대하여, 그 생성원의 차수들이

$2a_1,2a_2,\dots ,2a_p$

및

$2b_1-1,2b_2-2,\dots ,2b_q-1$

라고 하자. 즉, $p$개의 짝수 차수 생성원과 $q$개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:Theorem 2.27}

$\sum _i(2b_i-1)-\sum _j(2a_j-1)=\mathrm{fdim}X$

$\sum _j{a}_j\le \frac{1}{2}\mathrm{fdim}X$

$\sum _i(2b_i-1)\le 2(\mathrm{fdim}X)-1$

$p\le q$

여기서

$\mathrm{fdim}X=\max \{n\in \mathbb{N}:{\mathrm{H}}^n(X)\ne 0\}$

은 $X$의 형식적 차원(영어: formal dimension)이다.

쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.

• 호모토피 군들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉, $\mathrm{\forall }n\ge N:\sum _i^n{\pi }_n(X)\ge C^n$이 되는 실수 $C>1$ 및 자연수 $N\in \mathbb{N}$이 존재한다.^{:Theorem 2.33}
• 임의의 $k\ge 1$에 대하여, ${\pi }_i(X)\ne 0$이며 $k<i<k+n$인 $i\in \mathbb{Z}$가 존재한다.^{:Theorem 2.34}
• 임의의 $k\gg 1$에 대하여, $\mathrm{\forall }n\ge N:\sum _{i=k+1}^{k+n-1}\dim {\pi }_i(X)\ge \frac{\dim {\pi }_k(X)}{\dim {\mathrm{H}}^{\bullet }(X)}$인 $k<i<k+n$가 존재한다.^{:Theorem 2.34}

예

자명한 설리번 대수

임의의 정렬 집합 $(B,\le )$ 및 임의의 증가 함수

$\mathrm{deg}:B\to \mathbb{N}$

에 대하여, 자명한 미분

$\mathrm{d}b=0$

을 부여하자. 그렇다면, $(B,\le ,\mathrm{deg},0)$은 최소 설리번 대수를 이룬다.

특히, $B=\varnothing$일 때, $(K,\mathrm{d}=0)$은 $K$ 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.

홀수 차원 초구

$n$차원 초구 ${𝕊}^n$의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다.

${\dim }_{\mathbb{Q}}{\mathrm{H}}^k({𝕊}^n){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=\{\begin{array}{cc}1& k=0,n\\ 0& k\ne 0,n\end{array}$

따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 $n$의 생성원 $a$ 하나만을 가지며, 이 경우 $\mathrm{d}a=0$이다.^{:259–260, Example 19.1} 즉,

$B=\{a\}$

$\mathrm{deg}:a\mapsto 1$

$\mathrm{d}a=0$

이다.

짝수 차원 초구

짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 $n$의 생성원 $a$를 가지지만, $a$가 짝수 차수를 가지므로 $a^2\ne 0$이다. 따라서, $a^2$가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해, $2n-1$차의 생성원 $b$를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.^{:260, Example 19.2}

$B=\{a,b\}$

$a<b$

$\mathrm{deg}:a\mapsto n$

$\mathrm{deg}:b\mapsto 2n-1$

$\mathrm{d}a=0$

$\mathrm{d}b=a^2$

이에 따라, 초구의 호모토피 군의 계수를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)

복소수 사영 공간

복소수 사영 공간 ${ℂ\mathbb{P}}^n$의 유리수 계수 코호몰로지는

${\dim }_{\mathbb{Q}}{\mathrm{H}}^k({ℂ\mathbb{P}}^n){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=\{\begin{array}{cc}1& k=0,2,\dots ,2n\\ 0& k\ne 0,2,\dots ,2n\end{array}$

이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.^{:260, Example 19.3}

$B=\{a,b\}$

$a<b$

$\mathrm{deg}a=2$

$\mathrm{deg}b=2n+1$

$\mathrm{d}a=0$

$\mathrm{d}b=a^{n+1}$

무한 차원 복소수 사영 공간 ${ℂ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}$의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 $b$가 없어져 더 간단하다.

$\mathrm{deg}a=2$

$\mathrm{d}a=0$

비형식적 최소 설리번 대수

형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.

$B=\{a,b,x,y\}$

$a<b<x<y$

$\mathrm{deg}a=2,\mathrm{deg}b=\mathrm{deg}x=3,\mathrm{deg}y=4$

$\mathrm{d}a=\mathrm{d}b=0,\mathrm{d}x=a^2,\mathrm{d}y=ab$

이 설리번 대수의 코호몰로지는 $[a]$, $[b]$, $[xb-ay]$로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 $f$는 차수의 제약에 따라

$f(a)\propto [a]$

$f(y)=0$

$f(b)\propto [b]$

$f(x)\propto [b]$

가 되는데, 따라서

$f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0$

이 된다. 따라서, $f$는 유사동형이 될 수 없다.

설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조

다음과 같은 구성을 생각하자.

$B=\{x,y,z\}$

$\mathrm{deg}x=\mathrm{deg}y=\mathrm{deg}z=1$

$V=\bigwedge ({\mathrm{Span}}_{K}B)$

$\mathrm{d}x=yz$

$\mathrm{d}y=zx$

$\mathrm{d}z=xy$

이는 가환 미분 등급 대수를 이루며, $V$는 $B$로 생성되는 외대수이지만, $B$ 위에는 $(B,\le ,\mathrm{deg},\mathrm{d})$가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 $\le$를 줄 수 없으며, ${\mathrm{Span}}_{K}B$의 다른 기저를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.^{:Example 1.12}

역사

데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.

외부 링크

• “Rational homotopy theory” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sullivan minimal model” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Rational homotopy theory” (영어). 《nLab》. 
• “Rational topological space” (영어). 《nLab》. 
• “Rationalization” (영어). 《nLab》. 
• “Rational homotopy equivalence” (영어). 《nLab》. 
• “Sullivan model” (영어). 《nLab》. 
• “Real homotopy theory” (영어). 《nLab》. 
• “Model structure on dg-algebras” (영어). 《nLab》.