유한 생성 가군

환론에서 유한 생성 가군(有限生成加群, 영어: finitely generated module)은 유한 계수의 자유 가군의 몫가군이다. 즉, 유한 개의 생성원과 (유한 또는 무한 개의) 관계로 나타내어지는 가군이다.^[1]

정의

모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

유한 생성 가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 유한 생성 왼쪽 가군(有限生成-加群, 영어: finitely generated left module)이라고 한다.

(A) $_{R} M ≅_{R} R^{\oplus n} /_{R} N$ 이 되는 자연수 $n \in ℕ$ 과 자유 가군의 부분 가군 $_{R} N \subseteq_{R} R^{\oplus n}$ 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 $n \in ℕ$ 에 대하여, $R$ -왼쪽 가군의 완전열 $R^{\oplus n} \to M \to 0$ 이 존재한다.
(B) $_{R} M$ 의 임의의 부분 가군들의 집합 ${_{R} N_{i}}_{i \in I}$ , $_{R} N_{i} \subseteq_{R} M$ 에 대하여, 만약 $\sum_{i \in I}_{R} N_{i} =_{R} M$ 이라면, $\sum_{i \in I^{'}}_{R} N_{i} =_{R} M$ 이 되는 유한 집합 $I^{'} \subseteq I$ 가 존재한다.
(C) 임의의 부분 가군의 오름 사슬 $_{R} N_{0} \subseteq_{R} N_{1} \subseteq \dots \subseteq_{R} M$ 에 대하여, 만약 $⋃_{i = 0}^{\infty}_{R} N_{i} =_{R} M$ 이라면, $N_{i} = M$ 이 되는 $i \in ℕ$ 가 존재한다.
(D) 임의의 집합 $I$ 및 전사 사상 $ϕ :_{R} R^{\oplus I} \to_{R} M$ 에 대하여, $ϕ |_{_{R} R^{\oplus I^{'}}} :_{R} R^{\oplus I^{'}} \to_{R} M$ 역시 전사 사상이 되게 하는 유한 집합 $I^{'} \subseteq I$ 이 존재한다. (가군의 범주에서 전사 사상은 전사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 유한 쌍대 생성 왼쪽 가군(有限雙對生成-加群, 영어: finitely cogenerated left module)이라고 한다.

(B′) $_{R} M$ 의 임의의 부분 가군들의 집합 ${_{R} N_{i}}_{i \in I}$ , $_{R} N_{i} \subseteq_{R} M$ 에 대하여, 만약 $⋂_{i \in I}_{R} N_{i} =_{R} 0$ 이라면, $\sum_{i \in I^{'}}_{R} N_{i} =_{R} 0$ 이 되는 유한 집합 $I^{'} \subseteq I$ 가 존재한다.
(C′) 임의의 부분 가군의 내림 사슬 $_{R} M \supseteq_{R} N_{0} \supseteq_{R} N_{1} \supseteq \dots$ 에 대하여, 만약 $⋂_{i = 0}^{\infty}_{R} N_{i} = 0$ 이라면, $_{R} N_{i} = 0$ 이 되는 $i \in ℕ$ 가 존재한다.
(D′) 임의의 집합 $I$ 및 단사 사상 $ϕ :_{R} M \to_{R} R^{\times I}$ 에 대하여, $ϕ |_{_{R} R^{\times I^{'}}} :_{R} M \to_{R} R^{\times I^{'}}$ 역시 단사 사상이 되게 하는 유한 집합 $I^{'} \subseteq I$ 이 존재한다. (가군의 범주에서 단사 사상은 단사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 유한 생성 오른쪽 가군과 유한 쌍대 생성 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

조건 (B) 및 (C) 및 (B′) 및 (C′)은 환 $R$ 에 의존하지 않으므로, 유한 생성성 및 유한 쌍대 생성성은 모리타 동치 불변 성질이다. 특히, 정의 (B) 및 (B′)은 일반위상수학의 콤팩트 공간의 정의와 유사하다. (C) 및 (C′)은 각각 특정 사슬 (즉, 합이 전체 가군이 되는 오름 사슬 · 교집합이 영가군이 되는 내림 사슬)에 대한 오름 사슬 조건 · 내림 사슬 조건이며, 이를 모든 사슬에 대하여 일반화한다면 뇌터 가군 · 아르틴 가군의 개념을 얻는다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 유한 표시 왼쪽 가군(有限表示-加群, 영어: finitely presented left module)이라고 한다.

$_{R} M ≅ coker ϕ$ 가 되는 자연수 $m, n \in ℕ$ 및 $R$ -가군 준동형 $ϕ :_{R} R^{\oplus m} \to_{R} R^{\oplus n}$ 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 $n \in ℕ$ 에 대하여, $R$ -왼쪽 가군의 완전열 $R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0$ 이 존재한다.
$_{R} R^{\oplus n} \to_{R} M$ 이 전사 사상이 되는 자연수 $n \in ℕ$ 이 존재하며, $ϕ :_{R} R^{\oplus m} \to_{R} M$ 이 전사 사상이 되는 모든 자연수 $m \in ℕ$ 에 대하여, $\ker ϕ$ 은 유한 생성 가군이다.

(이 두 조건이 서로 동치라는 것은 섀뉴얼 보조정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.)

유한 생성 가군층

유한 생성 가군과 유한 표시 가군의 개념은 가군층으로 일반화할 수 있다.

유한 생성 가군의 일반화는 유한 생성 가군층(有限生成加群層, 영어: finitely generated sheaf of modules) 또는 유한형 가군층(有限型加群層, 영어: sheaf of modules of finite type, 프랑스어: faisceau de modules de type fini)이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간 $(X, 𝒪_{X})$ 가 주어졌다고 하자. $𝒪_{X}$ -가군층 $ℱ$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 유한 생성 가군층이라고 한다.^[2]^{:161, Definition 5.1.10}^[3]^{:207, Définition §2.1}^[4]^{:45, (5.2.1)}

임의의 $x \in X$ 에 대하여, 층의 완전열 $𝒪_{X}^{\oplus n} |_{U} \to ℱ |_{U} \to 0$ 이 존재하게 되는 열린 근방 $U ∋ x$ 와 자연수 $n$ 이 존재한다.

유한 표시 가군의 일반화는 유한 표시 가군층(有限表示加群層, 영어: finitely presented sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules admettant une présentation finie)이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간 $(X, 𝒪_{X})$ 위의 $𝒪_{X}$ -가군층 $ℱ$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 유한 표시 가군층이라고 한다.^[4]^{:46, (5.2.5)}

임의의 $x \in X$ 에 대하여, 층의 완전열 $𝒪_{X}^{\oplus m} |_{U} \to 𝒪_{X}^{\oplus n} |_{U} \to ℱ |_{U} \to 0$ 이 존재하게 되는 열린 근방 $U ∋ x$ 와 자연수 $m, n$ 가 존재한다.

유한 생성 가군/유한 표시 가군의 정의에 등장하는 자연수 $m, n$ 을 임의의 기수로 일반화한다면, 각각 국소 단면 생성 가군층(영어: sheaf of modules locally generated by sections)/준연접층의 개념을 얻는다. (물론, 모든 가군은 이렇게 정의된 개념들을 자동적으로 만족시킨다. 즉, 모든 가군은 준연접층을 정의한다.)

아벨 범주에서의 유한 생성 대상

보다 일반적으로, 아벨 범주 $𝒜$ 의 대상 $M \in 𝒜$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 유한 생성 대상(有限生成對象, 영어: finitely generated object)이라고 한다.^[5]^{:315, Chapter 5}^[6]^{:352, §1}

$M$ 의 부분 대상 부분 순서 집합 $Sub (M)$ 속의 상향 부분 집합 ${M_{i}}_{i \in I} \subseteq Sub (M)$ 에 대하여, 만약 $M = \sup_{i \in I} M_{i}$ 이라면, $M = M_{i}$ 인 $i \in I$ 가 존재한다.

아벨 범주 $𝒜$ 의 유한 생성 대상 $M \in 𝒜$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유한 표시 대상(有限表示對象, 영어: finitely presented object)이라고 한다.^[5]^{:315, Chapter 5}^[6]^{:352, §1}

임의의 유한 생성 대상 $N \in 𝒜$ 및 전사 사상 $f : N \to M$ 에 대하여, 핵 $\ker f$ 는 유한 생성 대상이다.

유한 스킴 사상

대수기하학에서, 유한 생성 가군의 개념은 다음과 같은 형태로 사용된다.

두 가환환 사이의 환 준동형 $f : R \to S$ 가 주어졌을 때, $S$ 는 $f$ 를 통해 $R$ -가군을 이룬다. 만약 $S$ 가 $R$ -유한 생성 가군이라면, $f$ 를 유한 준동형(有限準同型, 영어: finite homomorphism)이라고 한다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 $f : X \to Y$ 가 주어졌다고 하자. 임의의 $y \in Y$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $y \in Spec S \subseteq Y$ 가 존재한다면, $f$ 를 유한 사상(有限寫像, 영어: finite morphism, 프랑스어: morphisme fini)이라고 한다.^[7]^:84

원상 $f^{- 1} (Spec S)$ 는 아핀 스킴 $Spec R$ 이며, $R$ 는 $S$ 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

두 가환환 사이의 환 준동형 $f : R \to S$ 가 유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 가환 결합 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

성질

가군 $M$ 의 극대 부분 가군은 $M$ 전체가 아닌 부분 가군 가운데 극대 원소인 것이다. 마찬가지로, $M$ 의 극소 부분 가군은 $0$ 이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소인 것이다 (즉, 단순 가군인 부분 가군이다). 초른 보조정리에 의하여, 다음이 성립한다.

0이 아닌 모든 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다.
0이 아닌 모든 유한 쌍대 생성 가군은 극소 부분 가군을 갖는다.

반단순 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

유한 생성 가군이다.
유한 쌍대 생성 가군이다.

유한 생성 가군의 모든 몫가군은 유한 생성 가군이다. 유한 쌍대 생성 가군의 모든 부분 가군은 유한 쌍대 생성 가군이다.

왼쪽 가군의 짧은 완전열

0 \to N \to M \to M / N \to 0

에 대하여, 다음이 성립한다.

만약 $N$ 과 $M / N$ 이 유한 생성 가군이라면 $M$ 역시 유한 생성 가군이다.
만약 $N$ 과 $M / N$ 이 유한 쌍대 생성 가군이라면 $M$ 역시 유한 쌍대 생성 가군이다.

가군 성질의 필요 충분 조건

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

뇌터 가군이다.
모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

아르틴 가군이다.
모든 몫가군이 유한 생성 가군이다.

임의의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$_{R} M$ 이 유한 생성 가군이다.
$_{R} M$ 의 근기 $rad (_{R} M) \subseteq M$ 가 잉여적 부분 가군이며, $M / rad (_{R} M)$ 은 유한 생성 가군이다.

임의의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$_{R} M$ 이 유한 쌍대 생성 가군이다.
$_{R} M$ 의 주각 $soc (_{R} M) \subseteq M$ 이 본질적 부분 가군이자 유한 생성 가군이다.

예

정수환 $ℤ$ 위의 유한 생성 가군은 유한 생성 아벨 군과 같은 개념이다.

임의의 체 $K$ 에 대하여, 환 준동형

K [x] \to K [x, y] / (y^{2} - x^{3} - x)

을 생각하자. 그렇다면 $k [x, y] / (y^{2} - x^{3} - x)$ 는 $k [x]$ 위의 유한 생성 가군을 이룬다. 즉, 이로부터 유도되는 아핀 스킴 사상

Spec K [x, y] / (y^{2} - x^{3} - x) \to 𝔸_{K}^{1}

는 유한 사상이다.

같이 보기

정수적 원소

각주

↑ Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
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외부 링크

“유한 생성 가군”. 《오메가》. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
“Finitely generated object” (영어). 《nLab》.
“Compact object” (영어). 《nLab》.
“Finitely generated module” (영어). 《Commalg》.
Yuan, Qiaochu (2015년 4월 25일). “Compact objects” (영어). 《Annoying Precision》.
“Every quotient of a finitely generated module is finitely generated” (영어). 《Project Crazy Project》. 2011년 4월 16일.
“Finitely generated modules over R are precisely the module-homomorphic images of Rⁿ” (영어). 《Project Crazy Project》. 2011년 9월 19일.
“Does “finitely presented” mean “always finitely presented”?” (영어). Math Overflow.
“Finite type/finite morphism” (영어). Math Overflow.

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[1] Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

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[Stenstrom-6] 가 ^나 Stenström, Bo (1968년 3월). “Purity in functor categories” (영어). 《Journal of Algebra》 8 (3): 352–361. doi:10.1016/0021-8693(68)90064-1.

[Hartshorne-7] Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

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