모리타 동치

환론에서 모리타 동치([森田]同値, 영어: Morita equivalence)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.

정의

모리타 동치

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $U_{R}$ 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 $(R, S, U, V, ϕ, ψ)$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$S = {hom}_{R} (U_{R}, U_{R})$
$_{R} V = {hom}_{R} (_{S} U_{R},_{R} R_{R})$
$ϕ : U \otimes_{R} V \to S$ , $(u \otimes v) \mapsto (u^{'} \mapsto u v (u^{'}))$
$ψ : V \otimes_{S} U \to R$ , $(v \otimes u) \mapsto v (u)$

$U_{R}$ 가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, $U_{R}$ 에 대응되는 모리타 문맥 $(R, S, U, V, ϕ, χ)$ 에 대하여,

$\otimes_{R} V_{S} : {Mod}_{R} ⇄ {Mod}_{S} : \otimes_{S} U_{R}$ 는 범주의 동치를 이룬다.
$_{S} U \otimes_{R} :_{R} Mod ⇄_{S} {Mod}_{S} :_{S} V \otimes_{R}$ 는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

F : {Mod}_{R} ⇄ {Mod}_{S} : G

가 주어졌을 때,

$_{S} U_{R} = G (_{S} S_{S})$
$_{R} V_{S} = F (_{R} R_{R})$

로 놓으면, $U_{R}$ 는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 $U_{R}$ 에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

F ≅ \otimes_{R} V

G ≅ \otimes_{S} U

또한, 임의의 두 환 $(R, S)$ 에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

가법 동치 ${Mod}_{R} \to {Mod}_{S}$ 의 (자연 동형에 대한) 동형류
다음 두 조건을 만족시키는 (S,R)-쌍가군 SUR들의 동형류
- $U_{R}$ 는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상이다.
- $_{S} U_{R}$ 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다.

이와 같이, 두 환 $R$ , $S$ 위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(영어: Morita-equivalent)라고 하며,

R \approx S

로 표기한다.

모리타 쌍대성

쌍가군 $_{S} U_{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

{hom}_{R} ((-)_{R},_{S} U_{R}) : {Mod}_{R} \to_{S} {Mod}^{op}

{hom}_{S} (_{S} (-),_{S} U_{R}) :_{S} Mod \to {Mod}_{R}^{op}

이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

{hom}_{R} ((-)_{R},_{S} U_{R}) ⊣ {hom}_{S} (_{S} (-),_{S} U_{R})

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

M_{R} \to {hom}_{S} ({hom}_{R} (M_{R},_{S} U_{R}),_{S} U_{R})

이 동형 사상일 경우, $R$ -오른쪽 가군 $M_{R}$ 를 $U$ -반사 가군(영어: $U$ -reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로 $S$ -왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를 ${Mod}_{R} [U]$ 및 $_{S} Mod [U]$ 로 표기하자. 이 경우, ${Mod}_{R} [U]$ 와 $_{S} Mod [U]^{op}$ 는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주 $𝒜$ 의 충만한 부분 가법 범주 $𝒞$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.

짧은 완전열

0 \to A \to B \to C \to 0

에 대하여,

A, C \in 𝒞

라면

B \in 𝒞

이다.

쌍가군 $_{S} U_{R}$ 에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

${Mod}_{R} [U]$ 는 ${Mod}_{R}$ 의 세르 부분 범주이며, $_{S} Mod [U]$ 는 $_{S} Mod$ 의 세르 부분 범주이며, $R_{R} \in {Mod}_{R} [U]$ 이며, $_{S} S \in_{S} Mod [U]$ 이다.
$R_{R}$ , $U_{R}$ , $_{S} S$ , $_{S} U$ 의 모든 몫가군은 $U$ -반사 가군이다.
$U_{R}$ 는 단사 가군이자 ${Mod}_{R}$ 의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 $_{S} U$ 는 단사 가군이자 $_{S} Mod$ 의 쌍대 생성 대상이며, 또한 $_{S} U_{R}$ 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.

이 경우, $U$ 가 모리타 쌍대성(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 $U$ -반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 $U$ 및 $U^{'}$ 에 대하여, $U$ -반사 가군인지 여부는 $U^{'}$ -반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 $U$ 에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

예

모든 환 $R$ 및 양의 정수 $n$ 에 대하여, $R$ 는 $Mat (n; R)$ 와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 $R$ -자유 가군 $U = R^{\oplus n}$ 에 의하여 생성된다. 즉,

$S = {End}_{R} (R^{\oplus n}) = Mat (n; R)$
$_{R} U_{S} = R^{\oplus n}$ . 이는 행벡터(= $1 \times n$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
$_{S} V_{R} = R^{\oplus n}$ . 이는 열벡터(= $n \times 1$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
$ϕ :_{R} U \otimes_{S} V_{R} \to_{R} R_{R}$ 는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
$ψ :_{S} V \otimes_{R} U_{S} \to_{S} S_{S}$ 는 열벡터와 행벡터의 외적이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 $R$ 는 유한 개의 나눗셈환 $D_{1}, \dots, D_{k}$ 위의 행렬환 $Mat (n_{i}, D_{i})$ 들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

R ≅ Mat (n_{1}; D_{1}) \times \dots \times Mat (n_{k}; D_{k}) \approx D_{1} \times \dots \times D_{k}

역사

모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.^[1]

각주

↑ Morita, Kiiti (1958). “Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition” (영어). 《Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A》 6 (150): 83–142. ISSN 0371-3539. Zbl 0080.25702.

Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
Schwede, Stefan (2004). 〈Morita theory in Abelian, derived and stable model categories〉 (영어). Baker, Andrew; Richter, Birgit (편집). 《Structured ring spectra》. London Mathematical Society Lecture Notes 315. Cambridge University Press. 33–86쪽. arXiv:math/0310146. Bibcode:2003math.....10146S. ISBN 978-0-52160305-8.
Müller, Bruno J. (1984). 〈Morita duality — a survey〉 (영어). Göbel, R.; Metelli, C.; Orsatti, A.; Salce, L. (편집). 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Udine Conference, Udine, April 9–14, 1984》. International Centre for Mechanical Sciences Courses and Lectures 287. Springer-Verlag. 395–414쪽. doi:10.1007/978-3-7091-2814-5_30. ISBN 978-3-211-81847-3. ISSN 0254-1971.
Phạm Ngọc Ánh (1985). 〈Morita duality, linear compactness and AB5: a survey〉 (영어). Facchini, Alberto; Menini, Claudia (편집). 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Padova Conference, Padova, Italy, June 23–July 1, 1994》. Mathematics and Its Applications 343. Springer-Verlag. 17-28쪽. doi:10.1007/978-94-011-0443-2_2. ISBN 978-94-010-4198-0.

외부 링크

“Morita equivalence” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Morita equivalence” (영어). 《nLab》.
“Morita context” (영어). 《nLab》.
“Derived Morita equivalence” (영어). 《nLab》.
Yuan, Qiaochu (2012년 2월 16일). “Morita equivalence and the bicategory of bimodules” (영어). 《Annoying Precision》. 2015년 9월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 14일에 확인함.

[1] Morita, Kiiti (1958). “Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition” (영어). 《Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A》 6 (150): 83–142. ISSN 0371-3539. Zbl 0080.25702.

[1]