은 비율

은 비율 또는 백은비(白銀比 , Silver ratio)란 두 수중 큰 수의 두 배 그리고 작은 수의 합과 큰 수의 비가 큰 수와 작은 수의 비율과 일치할 때의 비율을 말한다. 그 값은 1에 루트 2를 더한 것으로 약 2.4142135623이다.

대수적으로 정의하면 다음과 같다.

$\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}\equiv {\delta }_S$

또는

$2+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}\equiv {\delta }_S$

은 비율은 다음과 같은 간단한 연분수 형태로도 표시할 수 있다.

$2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}={\delta }_S$

황금비가 피보나치 수열의 비율의 극한값인 것과 마찬가지로 펠 수열의 비율의 극한값은 은 비율과 같다.

수학적 성질

파일:Silver rectangle.svg

백은비율 직사각형

백은비(은 비율)은 $\sqrt{2}$와 관련된 수학 상수로서 $1+\sqrt{2}$이다.

$1:1+\sqrt{2}$

로 그 비율이 표현된다.

백은비율$({\delta }_S)=\frac{a}{b}=\frac{2a+b}{a}$

수론및 대수학에서 큰 경우의 양($a$)에대한 작은 경우의 양($b$)과의 두 비율이 작은 양과 큰 양의 두 배가 더하여진 경우에대한 큰 양의 비율과 같으면 이것은 백은 비율 (백은비 평균 또는 백은비 상수)이 된다. 이것으로 백은 비율을 무리수인 수학 상수로 정의하며,

백은비율$({\delta }_S)=\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}$

$2+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}={\delta }_S$

$2+\frac{1}{{\delta }_S}={\delta }_S$

$2{\delta }_S+1={{\delta }_S}^2$

${{\delta }_S}^2-2{\delta }_S-1=0$

${{\delta }_S}^2-2{\delta }_S-1=({\delta }_S-1{)}^2-2$

따라서

$({\delta }_S-1{)}^2=2$

$\sqrt{({\delta }_S-1{)}^2}=\sqrt{2}$

${\delta }_S-1=\sqrt{2}$

${\delta }_S=1+\sqrt{2}$

따라서

${\delta }_S=1+\sqrt{2}=2.41421356237\dots$

수학자 들은 2의 제곱근 그리고 그 수렴, 정사각수이면서 삼각수인 사각 삼각 수, 펠 (Pell) 수, 팔각형 등의 연결 문제 때문에 그리스 시대 이후 백은 비율을 연구했다.

황금비율과 백은비율의 유사성

황금비율

$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi$

백은비율

$\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}={\delta }_S$

도형속의 백은비

섬네일을 만드는 중 오류 발생: 섬네일을 만드는 중 오류 발생:	$$	파일:Silver spiral approximation.png
$$정팔각형에서의 백은비	$$

• 황금비
• 펠 방정식
• 금강비(닮음비)
• $\sqrt{2}$

같이 보기

• 황금비

참고

• (매스월드)https://web.archive.org/web/20181227073003/http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html
• (OEIS)http://oeis.org/A014176
• (OEIS)http://oeis.org/A179807