음악 동형

미분기하학에서 음악 동형(音樂同型, 영어: musical isomorphism)은 매끄러운 다양체의 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상이다. 준 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 경우 표준적인 음악 동형이 존재한다.

정의

매끄러운 다양체 $M$의 음악 동형은 그 접다발 $\mathrm{T}M$과 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}M$ 사이의 벡터 다발 동형 사상이다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 표기된다.

$\mathrm{♭}:\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$

$\mathrm{♯}:{\mathrm{T}}^{*}M\to \mathrm{T}M$

$\mathrm{♯}\circ \mathrm{♭}={\mathrm{id}}_{\mathrm{T}M}$

$\mathrm{♭}\circ \mathrm{♯}={\mathrm{id}}_{{\mathrm{T}}^{*}M}$

이를 사용하여, 벡터장을 1차 미분 형식에 대응시킬 수 있으며, 또 그 역도 가능하다. 이는 다음과 같이 표기된다.

$\Gamma (\mathrm{T}M)\ni X\mapsto X^{\mathrm{♭}}\in \Gamma ({\mathrm{T}}^{*}M)$

$\Gamma ({\mathrm{T}}^{*}M)\ni \alpha \mapsto {\alpha }^{\mathrm{♯}}\in \Gamma (\mathrm{T}M)$

성질

존재와 유일성

임의의 매끄러운 다양체에서, 음악 동형은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않다. (사실, 임의의 매끄러운 다양체 위에는 항상 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다.)

리만 구조 및 심플렉틱 구조와의 관계

음악 동형이 주어졌을 때, 각 점 $x\in M$에서 접공간 ${\mathrm{T}}_{x}M$ 위에 쌍선형 형식

$B(-,-):{\mathrm{T}}_{x}M\otimes {\mathrm{T}}_{x}M\to ℝ$

$B(X,Y)=⟨X^{\mathrm{♭}},Y⟩$

이 존재한다.

이 쌍선형 형식은 대칭 쌍선형 형식일 필요가 없으며, 일반적으로 다음과 같이 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다.

$g(X,Y)=\frac{B(X,Y)+B(Y,X)}{2}$

$\omega (X,Y)=\frac{B(X,Y)-B(Y,X)}{2}$

만약 $\omega =0$이라면, $g$는 $M$ 위의 준 리만 다양체 구조를 정의한다. 마찬가지로, 만약 $g=0$이라면, $\omega$는 $M$ 위의 준 심플렉틱 다양체(영어: almost symplectic manifold) 구조를 정의한다. (만약 추가로 $\mathrm{d}\omega =0$이라면, 이는 심플렉틱 다양체 구조를 이룬다.)

반대로, 준 리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌을 때, 음악 동형

$\mathrm{♭}:\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$

$\mathrm{♭}{|}_x:v\mapsto g(v,-)(x\in M,v\in {\mathrm{T}}_{x}M)$

$\mathrm{♯}:{\mathrm{T}}^{*}M\to \mathrm{T}M$

$\mathrm{♯}{|}_x:\varphi \mapsto g_x^{-1}(\varphi )(x\in M,\varphi \in {\mathrm{T}}_x^{*}M)$

을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 준 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 주어졌을 때, 음악 동형

$\mathrm{♭}:\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$

$\mathrm{♭}{|}_x:v\mapsto \omega (v,-)(x\in M,v\in {\mathrm{T}}_{x}M)$

을 정의할 수 있다.

역사

파일:Marcel Berger.jpeg

마르셀 베르제(1968년)

‘음악 동형’이라는 용어는 마르셀 베르제가 1971년에 이미 사용하였다.^:21

‘음악 동형’이라는 용어 및 그 기호는 일종의 말장난이다. 물리학에서는 보통 벡터장(접다발의 단면)을 윗첨자 $X^{\mu }$로, 1차 미분 형식(공변접다발의 단면)을 아랫첨자 $X_{\mu }$로 표기한다. 그런데 물리학과 달리 수학에서는 보통 이와 같은 첨자 표기법을 잘 사용하지 않으며, 다른 표기법이 필요하다. 이에 따라, 접다발을 공변접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “올리는” 것이므로, 음악의 올림표(♯)를 사용하여 표기하며, 반대로 공변접다발을 접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “내리는” 것이므로, 음악의 내림표(♭)를 사용하여 표기한다. 이 두 기호가 음악에서 유래하였으므로 이러한 벡터 다발 동형 사상에 ‘음악 동형’이라는 이름이 붙었다.

같이 보기

• 쌍대성
• 호지 쌍대
• 벡터 다발
• 내림표

참고 문헌

• Lee, J. M. (2003). 《Introduction to Smooth manifolds》. Springer Graduate Texts in Mathematics 218. ISBN 0-387-95448-1. 
• Lee, J. M. (1997). 《Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature》. Springer Graduate Texts in Mathematics 176. New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6. 
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). 《An Introduction to Clifford Algebras and Spinors》. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878-292-6. 

외부 링크

• “The origin of musical isomorphisms” (영어). 《Math Overflow》.