호지 쌍대

미분기하학에서 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표($*$). 호지 별표(Hodge star)로도 부른다.

정의

$(M,g)$가 $n$차원 유향 리만 다양체 또는 준 리만 다양체이고, $\alpha$가 그 위에 정의된 $k$차 미분 형식이라고 하자 ($0\le k\le n$). 그렇다면, 준 리만 계량의 음악 동형을 통하여, $k$차 미분 형식을 $(k,0)$차 완전 반대칭 텐서로 대응시킬 수 있다.

$(-{)}^{\mathrm{\#}}:{\Omega }^p(M)\to \Gamma \left({\bigwedge }^k\mathrm{T}M\right)$

지표로 쓰면 이는 다음과 같다.

$({\alpha }^{\mathrm{\#}}{)}^{i_1{i}_2\cdots i_p}=g^{i_1{j}_1}\cdots g^{i_p{j}_p}{\alpha }_{j_1\dots j_p}$

이제, $\alpha \in {\Omega }^p(M)$의 호지 쌍대는 다음과 같다.

$\star \alpha ={\alpha }^{\mathrm{\#}}⌟\omega \in {\Omega }^{n-p}(M)$

여기서

• $⌟$는 $(p,0)$차 완전 반대칭 텐서와 $n$차 미분 형식 사이의 내부곱이다.
• $\omega \in {\Omega }^n(M)$는 준 리만 계량 및 방향으로 정의되는 부피 형식이다.

지표로 쓰면,

${\omega }_{i_1\dots i_n}=\sqrt{|\det g|}{ϵ}_{i_1\dots i_n}$

이므로,

$(\star \alpha {)}_{i_{p+1}\dots i_n}=\frac{1}{p!}\sqrt{|\det g|}{ϵ}_{i_1\dots i_n}{g}^{i_1{j}_1}\cdots g^{i_p{j}_p}{\alpha }_{j_1\dots j_p}$

이다. 여기서 ${ϵ}^{i_1,\dots ,i_n}$은 $n$차원 레비치비타 기호이다.

벡터 값 미분 형식의 호지 쌍대

보다 일반적으로, 유향 준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 벡터 다발 $E$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $E$값의 $k$차 미분 형식 $\alpha \in {\Omega }^k(M;E)$에 대하여 마찬가지로 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

${\alpha }^{\mathrm{\#}}\in \Gamma ({\bigwedge }^k\mathrm{T}M\otimes E)$

$\star \alpha ={\alpha }^{\mathrm{\#}}⌟\omega \in {\Omega }^{n-p}(M;E)$

즉, 성분으로 쓰면 다음과 같다.

$(\star \alpha {)}_{i_{p+1}\dots i_n}^a=\frac{1}{p!}\sqrt{|\det g|}{ϵ}_{i_1\dots i_n}{g}^{i_1{j}_1}\cdots g^{i_p{j}_p}{\alpha }_{j_1\dots j_p}^a$

성질

쌍대성

$\alpha$가 $(n-q,q)$차원 준 리만 다양체 위에 정의된 $k$차 미분 형식이라고 하자. 그렇다면

$\star \star \alpha =(-1{)}^{k(n-k)+q}\alpha$

이다. 특히, 만약 $n$이 짝수라면, 이는 선형 변환

$\star :{\Omega }^{n/2}(M)\to {\Omega }^{n/2}(M)$

을 정의한다. 만약 $\star \star =+1$인 경우, 가운데 차수 미분 형식은 자기 쌍대 미분 형식(영어: self-dual differential form)

$\alpha =\star \alpha$

과 자기 반쌍대 미분 형식(영어: anti-self-dual differential form)

$\alpha =-\star \alpha$

으로 분해된다.

$\alpha =\frac{1}{2}(\alpha +\star \alpha )+\frac{1}{2}(\alpha -\star \alpha )$

만약 $\star \star =-1$인 경우, 이는 가운데 차수 미분 형식의 실수 벡터 공간에 복소구조를 정의한다.

내적

이제, 다음과 같은 내적을 생각하자.

$⟨\alpha ,\beta ⟩=\underset{M}{\int }({\alpha }^{\mathrm{\#}}⌟\beta )\omega =\underset{M}{\int }\frac{1}{p!}{g}^{i_1{j}_1}\cdots g^{i_p{j}_p}{\alpha }_{i_1\cdots i_q}{\beta }_{j_1\cdots j_q}\sqrt{|\det g|}{\mathrm{d}}^{n}x$

이는 물론 수렴하지 않을 수 있다. 그러나 부분 공간

$\{\alpha \in {\Omega }^p(M):⟨\alpha ,\alpha ⟩<\mathrm{\infty }\}$

위에서 이 연산은 잘 정의되며, 이에 대한 완비화를 취하면 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이를 $H^p$로 표기하자. ($p=0$인 경우 이는 르베그 공간 ${\mathrm{L}}^2(M)$과 같다.) 이에 대하여 마찬가지로 쐐기곱을

$(\wedge ):H^p\otimes H^q\to H^{p+q}$

로 정의할 수 있다.

그렇다면, 임의의 $\alpha \in H^p$에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathrm{\forall }\beta \in H^p:\beta \wedge \star \alpha =⟨\beta ,\alpha {⟩}_{H^p}\omega \in H^n$

즉, 이 경우 호지 쌍대 연산은 힐베르트 공간의 내적과 쐐기곱 사이의 변환이다.

공미분

미분 형식의 공미분(codifferential) $\delta$는 미분 형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 $d$에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.

$⟨\delta \alpha ,\beta ⟩=⟨\alpha ,\mathrm{d}\beta ⟩$.

따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. $\alpha$가 $k$차 형식이라면,

$\delta \alpha =(-1{)}^k{\star }^{-1}\mathrm{d}\star \alpha$

이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 항등식 ${\delta }^2=0$을 만족시킨다.

미분 형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자 $\Delta$는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\Delta =(d+\delta {)}^2=d\delta +\delta d$.

역사

윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 호지 이론의 일부로서 도입하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hodge star” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Hodge star operator” (영어). 《nLab》.