자이페르트 곡면

파일:Borromean Seifert surface.png

보로메오 연환의 자이페르트 곡면

매듭 이론에서 자이페르트 곡면(Seifert曲面, 영어: Seifert surface)은 3차원 초구 속의 연결 2차원 유향 경계다양체이다. 그 경계는 연환을 정의하며, 모든 연환은 이러한 꼴로 표현될 수 있다. 어떤 주어진 연환의 자이페르트 곡면이란 이 연환을 경계로 삼은 자이페르트 곡면을 뜻한다.

정의

차분한(영어: tame) 유향 연환 $L⊊{𝕊}^3$의 자이페르트 곡면은 $\partial \Sigma =L$인 ${𝕊}^3$ 속의 2차원 유향 연결 경계다양체 $\Sigma ⊊{𝕊}^3$이다.

성질

존재와 유일성

모든 연환은 자이페르트 곡면을 갖는다. 그러나 이는 유일하지 않다.

연환의 자이페르트 곡면은 구체적으로 다음과 같은 알고리즘으로 구성된다. 우선, 연환 $L$이 $m$개의 연결 성분을 갖는다고 하자. $L$의 임의의 그림(평면으로의 투영)이 주어졌다고 하자. 이 그림이 $d$개의 교차점을 갖는다고 하자. 그렇다면,

파일:Knot-crossing-plus.png ⇒ 파일:Knot-crossing-zero.png

와 같이, 그림에서 교차점들을 해소할 수 있다. 교차점을 모두 해소하면 연환의 그림은 서로 교차하지 않는 원들로 구성되는데, $f$개의 원들이 있다고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 자이페르트 곡면을 구성할 수 있다.

1. 연환면의 그림의 해소의 각 원 안에 원판을 붙인다. 즉, $f$개의 원판이 존재한다.
2. 연환면에서, 해소된 각 교차점에 대응하는 띠를 이어붙인다. 이 경우, 아래 그림과 같이 띠를 뒤틀어 이어붙이며, 띠를 뒤트는 방향은 해소되기 이전의 교차점의 방향을 따른다.

   섬네일을 만드는 중 오류 발생:

이 경우, 교차점의 해소에서 방향을 보존해야 한다. (방향을 보존하지 않으면, 비가향 다양체를 얻을 수 있다.) 즉, 다음과 같은 꼴의 해소는 불가능하다.

파일:Knot-crossing-plus.png ⇒ ⩆

종수

위 알고리즘으로 구성된 자이페르트 곡면은 $m$개의 구멍을 가지며, 종수가

$g=\frac{2+d-f-m}{2}$

인 2차원 경계다양체이다. 물론, 어떤 연환 $L$의 자이페르트 곡면 $\Sigma$가 주어졌을 때, 임의의 원환면과의 연결합 $\Sigma \mathrm{\#}{𝕋}^2$ 역시 $L$의 자이페르트 곡면이며, 그 종수는 원래 자이페르트 곡면의 종수 + 1이다. 주어진 연환의 자이페르트 곡면들의 최소 종수를 연환의 종수(種數, 영어: genus of a link/knot)라고 한다.

임의의 두 유향 매듭 $K$, $K^{\prime }$에 대하여, 다음이 성립한다.

$g(K)+g(K^{\prime })=g(K\mathrm{\#}{K}^{\prime })$

즉, 매듭의 연결합은 종수를 보존한다.

자이페르트 행렬

연환 $L$의 자이페르트 곡면 $\Sigma$가 주어졌다고 하고, 그 종수가 $g$라고 하자. 그렇다면, 그 1차 호몰로지 군은 다음과 같은 자유 아벨 군이다.

${\mathrm{H}}_1(\Sigma )\cong {\mathbb{Z}}^{2g}$

이 경우, 그 교차 형식이

$Q=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\oplus \cdots \oplus \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

가 되게 하는 기저

$a_1,a_2,\dots ,a_{2g}\in {\mathrm{H}}_1(\Sigma )$

가 존재한다.

이 기저에 대한 자이페르트 행렬(Seifert行列, 영어: Seifert matrix) $V\in \mathrm{Mat}(2g,2g;\mathbb{Z})$은 정수 성분의 $2g\times 2g$ 정사각 행렬이며, 그 $(i,j)$번째 성분은 $a_i$와 $a_j$의 연환수이다. 이 경우

$V-V^{\mathrm{\top }}=Q$

가 성립한다. ($(-{)}^{\mathrm{\top }}$은 수반 행렬이다.) 반대로, $V-V^{\mathrm{\top }}=Q$의 꼴인 임의의 정수 성분의 짝수 크기 정사각 행렬은 어떤 매듭의 자이페르트 곡면의 자이페르트 행렬로 표현될 수 있다.

자이페르트 행렬의 다음과 같은 행렬식

$A_L(t)=\det (V-t{V}^{\mathrm{\top }})\in \mathbb{Z}[t]$

은 연환의 알렉산더 다항식이라고 한다. 이는 자이페르트 곡면의 선택이나 그 호몰로지의 기저의 선택에 의존하지 않는, 유향 연환의 불변량이다. 이에 따라, 연환의 종수 $g(L)$은 다음과 같은 부등식을 따른다.

$g(L)\ge \lceil \frac{1}{2}\mathrm{deg}{A}_L\rceil$

자이페르트 행렬의 대칭화

$V+V^{\mathrm{\top }}$

의 부호수 역시 연환의 불변량이며, 이를 연환의 부호수(符號數, 영어: signature of a link/knot)라고 한다.

예

자명한 원환

공집합은 0개의 연결 성분을 갖는 연환이다. 그 자이페르트 곡면은 경계를 갖지 않는 임의의 유향 곡면이며, 이 연환의 종수는 물론 0이다.

자명한 매듭의 경우, 원판이 그 원환면이므로 그 종수는 0이다. 보다 일반적으로, $k$개의 연결 성분을 갖는 자명한 연환의 자이페르트 곡면은 $k$개의 구멍을 뚫은 구이며, 따라서 그 종수는 0이다. 종수가 0인 매듭은 자명한 매듭 밖에 없다. (그러나 종수가 0이지만 자명하지 않은 연환이 존재한다.)

원환면 매듭

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

세잎매듭을 경계로 하는 뫼비우스 띠. 이는 가향 다양체가 아니므로 자이페르트 곡면이 아니다.

$(p,q)$-원환면 매듭의 종수는 $(p-1)(q-1)/2$이다. 예를 들어, (2,1)-원환면 매듭인 세잎매듭의 종수는 1이다. 세잎매듭의 그림

파일:TrefoilKnot 01.svg

에서, 자이페르트 알고리즘을 가하면, $(m,d,f)=(1,3,2)$이므로 종수 $(2+3-2-1)/2=1$을 얻는다. (이 경우, 해소된 그림은 밖의 큰 원과 속의 작은 원으로 구성된다. 세잎그림의 그림에서 방향을 무시하는 해소를 취하면, $f=3$이지만, 이 경우 얻게 되는 곡면은 세 번 뒤튼 뫼비우스 띠이므로 유향 다양체가 아니다.)

호프 연환

호프 연환의 한 자이페르트 곡면은 다음과 같다.

파일:Hopf band wikipedia.png

아이소토피를 무시하면, 이는 두 개의 구멍이 뚫린 구(즉, 두 개의 원판의 연결합와 미분 동형)이다. 따라서, 호프 연환의 종수는 0이다.

8자 매듭

8자 매듭(4¹번 매듭)의 종수는 1이다.

역사

헤르베르트 자이페르트가 1934년에 도입하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Seifert surface” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Seifert matrix” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Knot genus” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Seifert surface” (영어). 《nLab》.