점렬 공간

일반위상수학에서 점렬 공간(點列空間, 영어: sequential space)은 위상수학적 구조를 그물 대신 점렬만으로 다룰 수 있는 위상 공간이다. 점렬성은 제1 가산 공간의 조건을 매우 약화시킨 것이다. 점렬 공간의 범주는 범주론적으로 여러 좋은 성질들을 갖는다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합 $U\subseteq X$이 다음 조건을 만족시키면, 점렬 열린집합(點列-集合, 영어: sequentially open set)이라고 한다.

• 임의의 점렬 $(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq X$에 대하여, 만약 $x_i\to u$인 $u\in U$가 존재한다면, 충분히 큰 $i$에 대하여 $x_i\in U$이다.

위상 공간 $X$의 부분 집합 $C\subseteq X$이 다음 조건을 만족시키면, 점렬 닫힌집합(點列-集合, 영어: sequentially closed set)이라고 한다.

• 임의의 점렬 $(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq C$에 대하여, 만약 $x_i\to x$인 $x\in X$가 존재한다면, $x\in C$이다.

위 정의에서, "점렬"을 그물 또는 필터로 대체하면 표준적인 열린집합·닫힌집합의 정의와 동치인 개념을 얻는다. 즉, 모든 열린집합은 점렬 열린집합이며 모든 닫힌집합은 점렬 닫힌집합이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

임의의 위상 공간 $X$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 점렬 공간이라고 한다.

• 모든 점렬 열린집합은 열린집합이다.
• 모든 점렬 닫힌집합은 닫힌집합이다.
• 제1 가산 공간의 몫공간이다.
• 거리화 가능 공간의 몫공간이다.
• 임의의 위상 공간 $Y$ 및 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 만약 $f$가 점렬 연속 함수라면 $f$는 연속 함수이다.

즉, 점렬 공간에서는 열린집합 · 닫힌집합 · 연속 함수의 개념을 그물 또는 필터 대신 점렬만으로 다룰 수 있다.

점렬 폐포

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$의 점렬 폐포(點列閉包, 영어: sequential closure) $\mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{seq}}A$는 $A$ 속의 점렬들의 극한들로 구성된 $X$의 부분 집합이다.

$\mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{seq}}A=\{x\in X:\mathrm{\exists }(a_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq A:a_i\to x\}$

점렬 폐포는 멱등 연산이 아니다. 즉, 일반적으로

$\mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{seq}}\mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{seq}}A\ne \mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{seq}}A$

이다. 위상 공간 $X$의 부분 집합 $A$에 대하여, 초한 점렬 폐포열(超限點列閉包列, 영어: transfinite sequential closure sequence) $A_{\alpha }$는 다음과 같이 정의된다.

• $A_0=A$
• 따름 순서수 $\alpha +1$에 대하여, $A_{\alpha +1}=\mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{seq}}{A}_{\alpha }$이다.
• 극한 순서수 $\alpha$에 대하여,

  $A_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }{A}_{\beta }$

임의의 위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, $A_{\alpha }=A_{\alpha +1}$이 되는 최소의 순서수 $\alpha$가 존재하며, 또한 항상 $\alpha \le {\omega }_1$이다. (${\omega }_1$은 최소의 비가산 순서수이다.) 이 경우 $A_{\alpha }$를 $A$의 초한 점렬 폐포(超限點列閉包, 영어: transfinite sequential closure)라고 한다.

점렬 공간 속에서, 초한 점렬 폐포는 항상 (일반적) 폐포와 일치한다. 점렬 공간 $X$의 점렬 순서수(點列順序數, 영어: sequential order)는 모든 $A\subseteq X$에 대하여 $A_{\alpha }=\mathrm{cl}A$가 되는 최소의 순서수 $\alpha$이다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 프레셰-우리손 공간(Fréchet-Урысон空間, 영어: Fréchet–Urysohn space)이라고 한다..

• $X$의 모든 부분 집합은 점렬 공간이다.
• $X$의 모든 부분 집합의 폐포는 점렬 폐포와 같다. 즉, $X$의 점렬 순서수는 1이다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

제2 가산 공간 ∪ 거리화 가능 공간 ⊊ 제1 가산 공간 ⊊ 프레셰-우리손 공간 ⊊ 점렬 공간 ⊊ 콤팩트 생성 공간 ∩ 가산 생성 공간

점렬성을 보존하는 연산

점렬 공간에 다음과 같은 연산을 가하여도 점렬 공간을 얻는다.

• 점렬 공간의 몫공간은 점렬 공간이다.
• 점렬 공간 $X$ 및 위상 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌고, $f$가 닫힌 사상이거나 열린 사상이라고 하자. 그렇다면 $f(X)$는 점렬 공간이다. (그러나 $f$가 닫힌 사상도, 열린 사상도 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.
• 임의의 수의 점렬 공간들의 분리합집합은 점렬 공간이다.
• 점렬 공간의 열린집합과 닫힌집합은 점렬 공간이다. (그러나 일반적인 부분 공간에 대하여 이는 성립하지 않을 수 있다.)

점렬 공간의 곱공간은 일반적으로 점렬 공간이 아니다.

범주론적 성질

점렬 공간과 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루며, 따라서 모든 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다. (점렬 공간의 범주에서의 범주론적 곱은 (위상 공간의 범주에서의) 곱공간과 일치하지 않는다.) 즉, 점렬 공간은 노먼 스틴로드가 정의한 (위상수학에서) "편리한 범주"(영어: convenient category)를 이룬다.

데카르트 닫힌 범주를 넘어서, 점렬 공간을 충만한 부분 범주로 갖는 토포스를 정의할 수 있으며, 이를 존스톤 토포스(영어: Johnstone’s topos)라고 한다.

예

수학에서 다루는 거의 모든 위상 공간은 점렬 공간이다. 모든 CW 복합체와 모든 다양체는 점렬 공간이다.

제1 가산 공간이 아닌 프레셰-우리손 공간

가산 무한 개의 원들의 쐐기합 $ℝ/\mathbb{N}=\{\{r\}:r\in ℝ\setminus \mathbb{N}\}\cup \{\mathbb{N}\}$ (즉, 실수 집합에서, 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 몫공간)은 프레셰-우리손 공간이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 $\mathbb{N}\in ℝ/\mathbb{N}$은 가산 국소 기저를 갖지 않기 때문이다.

프레셰-우리손 공간이 아닌 점렬 공간

아렌스 공간(영어: Arens space)

$S_2=\frac{\mathbb{N}\times (\{0\}\cup \{1/i:i\in {\mathbb{Z}}^{+}\})}{\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}:(0,1/i)\sim (i,0)}$

은 (제1 가산 공간의 몫공간이므로) 점렬 공간이며, 완전 정규 하우스도르프 공간이지만, 프레셰-우리손 공간이 아니다.^{:54–55, Example 1.6.19} 구체적으로, 점 $(0,0)$은 집합 $S_2\setminus \{(0,1/i):i\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$의 폐포에 속하지만, $(0,0)$으로 수렴하는 점렬은 상수 점렬과 $((0,1),(0,1/2),\dots )$의 부분 점렬밖에 없다.

점렬 공간이 아닌 위상 공간

비가산 집합에서, 닫힌집합을 가산 부분 집합으로 정의하자. 이 위상 공간에서, 수렴하는 점렬은 충분히 큰 첨자에 대하여 상수 점렬인 것 밖에 없다. 따라서, 모든 부분 집합은 점렬 열린집합이며, 이 위상 공간은 점렬 공간이 아니다.

아렌스 공간의 부분 공간 $S_2\setminus \{(0,1/i):i\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$은 점렬 공간이 아니다.^{:55, Example 1.6.20}

역사

오랫동안 제1 가산 공간에서는 일반적으로 그물을 사용하여 정의되는 각종 위상수학적 성질들이 점렬을 사용하여 정의되는 것들과 동치인 것이 알려져 있었다. 1956년에 스탠리 프랭클린(영어: Stanley P. Franklin)은 제1 가산 공간에서 이 성질이 성립하는 조건을 추상화하여 점렬 공간의 개념을 도입하였다.

외부 링크

• “Sequential space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sequential topological space” (영어). 《nLab》. 
• “Subsequential space” (영어). 《nLab》. 
• “Johnstone's topological topos” (영어). 《nLab》. 
• Ma, Dan (2010년 6월 21일). “Sequential spaces, I” (영어). 《Dan Ma's Topology Blog》. 
• Ma, Dan (2010년 6월 23일). “Sequential spaces, II” (영어). 《Dan Ma's Topology Blog》. 
• Ma, Dan (2010년 7월 1일). “Sequential spaces, III” (영어). 《Dan Ma's Topology Blog》. 
• Ma, Dan (2010년 7월 17일). “Sequential spaces, IV” (영어). 《Dan Ma's Topology Blog》. 
• Ma, Dan (2010년 7월 21일). “Sequential spaces, V” (영어). 《Dan Ma's Topology Blog》. 
• Ma, Dan (2010년 8월 22일). “An observation about sequential spaces” (영어). 《Dan Ma's Topology Blog》. 
• Ma, Dan (2010년 8월 18일). “A note about the Arens’ space” (영어). 《Dan Ma’s Topology Blog》. 
• Moss, Sean (2014년 4월 7일). “On a Topological Topos” (영어). 《The n-Category Café》. 

같이 보기

• 점렬 콤팩트 공간
• 점렬 연속 함수
• 제1 가산 공간
• 콤팩트 생성 공간