호지-라플라스 연산자

미분기하학에서 호지-라플라스 연산자(Hodge-Laplace演算子, 영어: Hodge–Laplace operator) 또는 호지-드람 라플라스 연산자(Hodge-de Rham-Laplace演算子, 영어: Hodge–de Rham Laplacian) 또는 라플라스-드람 연산자(Laplace-de Rham演算子, 영어: Laplace–de Rham operator)는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 호지-라플라스 연산자의 값이 0인 미분 형식을 조화 미분 형식(調和微分形式, 영어: harmonic differential form)이라고 하며, 호지 이론에 따라 이는 실수 계수 코호몰로지류와 표준적으로 대응된다.

정의

콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 미분 형식의 실수 벡터 공간

${\Omega }^{\bullet }(M)$

을 생각하자. 임의의 $n\in \{0,1,\dots ,\dim M\}$에 대하여, $n$차 미분 형식의 벡터 다발의 $x\in M$에서의 올공간

${\bigwedge }^n{\mathrm{T}}_x^{*}M$

은 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\dim M}{n})$차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량 $g{|}_x$로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉, $n$차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다.

$⟨\alpha |\beta ⟩=\frac{1}{(n!{)}^2}\underset{M}{\int }{\alpha }_{i_1{i}_2\cdots i_n}{\beta }_{j_1{j}_2\cdots j_n}{g}^{i_1{j}_1}\cdots g^{i_n{j}_n}\sqrt{\det g}{\mathrm{d}}^{\dim M}x\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in {\Omega }^n(M)$

이에 따라 $\Omega (M)$의 완비화 $\overline{\Omega }(M)$를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다.

이 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분

$\mathrm{d}:{\Omega }^{\bullet }(M)\to {\Omega }^{\bullet +1}(M)$

의 에르미트 수반

${\mathrm{d}}^{†}:\mathrm{dom}({\mathrm{d}}^{†})\to \overline{\Omega }(M)$

$⟨\alpha |{\mathrm{d}}^{†}\beta ⟩=⟨\mathrm{d}\alpha |\beta ⟩\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in \Omega (M)$

$\mathrm{dom}{\mathrm{d}}^{†}\subseteq {\overline{\Omega }}^{\bullet }(M)$

을 $\overline{\Omega }(M)$의 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로 $({\mathrm{d}}^{†}{)}^2=0$이다.

호지-라플라스 연산자는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

${\Delta }_{\text{dR}}=\mathrm{d}{\mathrm{d}}^{†}+{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}=(\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}{)}^2$

그 핵은 조화 미분 형식이라고 한다.

성질

스펙트럼

${\Delta }_{\text{dR}}=(\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}{)}^2$이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.

접속을 통한 라플라스 연산자와의 관계

리만 다양체 $M$ 위의 임의의 $(p,q)$차 텐서장

$X_{j_1\dots j_q}^{i_1\dots i_p}$

에 대하여, 레비치비타 접속을 사용하여 다음과 같은 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.

$(\Delta X)X_{j_1\dots j_q}^{i_1\dots i_p}=g^{kl}{\mathrm{\nabla }}_k{\mathrm{\nabla }}_l{X}_{j_1\dots j_q}^{i_1\dots i_p}$

만약 $p=0$일 경우, $(0,q)$차 텐서장은 $q$차 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 바이첸뵈크 항등식(영어: Weitzenböck identity)이라고 한다.

다만, 스칼라 함수의 경우 ($p=q=0$), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.

$g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_j{\partial }_{i}f=-{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}f=-{\Delta }_{\text{dR}}f$

증명:

차수로 인하여, $f\in {\Omega }^0(M)$에 대하여 ${\mathrm{d}}^{†}f=0$이다. 따라서

${\Delta }_{\text{dR}}f=\mathrm{d}{\mathrm{d}}^{†}f+{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}f={\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}f$

이다. 따라서, 임의의 함수 $g\in {\Omega }^0(M)$에 대하여

$\underset{M}{\int }{g}^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}f\sqrt{\det g}\mathrm{d}x=⟨\mathrm{d}g|\mathrm{d}f⟩$

임을 보이면 족하다. 그런데 스토크스 정리에 의하여

$\underset{M}{\int }{g}^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}f\sqrt{\det g}\mathrm{d}x=-\underset{M}{\int }{g}^{ij}{\mathrm{\nabla }}_{i}f{\mathrm{\nabla }}_{j}g\sqrt{\det g}=-⟨\mathrm{d}f|\mathrm{d}g⟩$

이다.

조화 미분 형식

${\Delta }_{\text{dR}}$가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지 $\mathrm{H}(M;ℝ)$와 표준적으로 동형이다.

구체적으로, 닫힌 미분 형식 $\alpha \in {\Omega }^k(M)$의 동치류

$[\alpha ]=\{\beta \in {\Omega }^k(M):\mathrm{\exists }\gamma \in {\Omega }^{K-1}(M):\alpha -\beta =\mathrm{d}\gamma \}$

를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수

$\Vert -\Vert :[\alpha ]\to [0,\mathrm{\infty })$

를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.

참고 문헌

• Warner, Frank (1971). 《Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3. MR 722297. 

외부 링크

• “Harmonic differential form” (영어). 《nLab》.