코시 적분 정리

복소해석학에서 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결 열린집합 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다.

정의

유계 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$의 경계 $\partial D$가 유한 개의 조각마다 ${𝒞}^1$ 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 $f:\mathrm{cl}D\to ℂ$가 $D$에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^:84

$\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z=0$

이에 따라, 단일 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$ 위의 정칙 함수 $f:D\to ℂ$의, 임의의 두 점 $z^{\prime },z^{″}\in D$ 사이의 경로 적분

$\underset{z^{\prime }}{\overset{z^{″}}{\int }}f(z)\mathrm{d}z$

는 경로

$\gamma :[a,b]\to D(\gamma (a)=z^{\prime },\gamma (b)=z^{″})$

의 선택에 의존하지 않는다.

증명

C¹을 가정하는 증명

도함수 $f^{\prime }$가 $\mathrm{cl}D$의 어떤 근방 $N\supseteq \mathrm{cl}D$에서 연속 함수임을 가정할 경우,^:84-85

$f=u+iv$

인 $u,v:N\to ℝ$를 취하자. 그렇다면, 그린 정리와 코시-리만 방정식에 의하여,

$\begin{array}{cc}\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z& =\underset{\partial D}{\int }(u+iv)(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y)\\ & =\underset{\partial D}{\int }(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i\underset{\partial D}{\int }(u\mathrm{d}y+v\mathrm{d}x)\\ & =\underset{D}{\iint }(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y+i\underset{D}{\iint }(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =0\end{array}$

이다.

C¹을 가정하지 않는 증명

삼각형 열린집합에 대한 코시 적분 정리의 증명 도해

위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선 $D$가 삼각형 열린집합인 경우를 보이자.^:85-87

귀류법을 사용하여,

$\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z\ne 0$

이라고 가정하자. $D_0=D$라고 하고, 삼각형 열린집합 $D$의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 열린집합 $T_1,T_2,T_3,T_4$를 생각하자. 그렇다면,

$\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\sum _{k=1}^4\underset{\partial T_k}{\int }f(z)\mathrm{d}z$

이므로,

$|\underset{\partial D_1}{\int }f(z)\mathrm{d}z|\ge \frac{1}{4}|\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z|$

인 $D_1\in \{T_1,T_2,T_3,T_4\}$가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 열린집합의 열 $(D_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$을 얻는다.

• $D_n\subseteq D_{n-1}$
• $\mathrm{diam}{D}_n=\frac{1}{2^n}\mathrm{diam}D$
• $\underset{\partial D_n}{\int }|\mathrm{d}z|=\frac{1}{2^n}\underset{\partial D}{\int }|\mathrm{d}z|$
• $|\underset{\partial D_n}{\int }f(z)\mathrm{d}z|\ge \frac{1}{4^n}|\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z|(n\in \{1,2,\dots \})$

따라서,

$\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_n=\{z_0\}$

인 $z_0\in ℂ$가 존재하며, 임의의 $n\in \{0,1,\dots \}$에 대하여,

$\begin{array}{cc}0<\frac{1}{4^n}|\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z|\le |\underset{\partial D_n}{\int }f(z)\mathrm{d}z|& =|\underset{\partial D_n}{\int }(f(z)-f(z_0)-f^{\prime }(z_0)(z-z_0))\mathrm{d}z|\\ & \le \underset{z\in \partial D_n}{\max }|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f^{\prime }(z_0)|\cdot \mathrm{diam}{D}_n\cdot \underset{\partial D_n}{\int }|\mathrm{d}z|\\ & =\frac{1}{4^n}\underset{z\in \partial D_n}{\max }|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f^{\prime }(z_0)|\cdot \mathrm{diam}D\cdot \underset{\partial D}{\int }|\mathrm{d}z|\end{array}$

이다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{z\in \partial D_n}{\max }|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f^{\prime }(z_0)|=0$

이므로, 이는 모순이다.

이제, 일반적인 경우를 보이자. $D$는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상 $D$가 단일 연결 열린집합이라고 가정하자.

임의의 $ϵ>0$에 대하여, $f$는 균등 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 다각형 열린집합 $\tilde{D}\subseteq D$가 존재한다.

• $\mathrm{cl}\tilde{D}\subseteq D$
• $|\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z-\underset{\partial \tilde{D}}{\int }f(z)\mathrm{d}z|<ϵ$

다각형 열린집합 $\tilde{D}$는 유한 개의 삼각형 열린집합의 합집합으로 분할되므로,

$\underset{\partial \tilde{D}}{\int }f(z)\mathrm{d}z=0$

이며, 따라서

$|\underset{\partial D}{\int }f(z)\mathrm{d}z|<ϵ$

이다.

같이 보기

• 모레라 정리
• 별모양 집합

외부 링크

• “Cauchy integral theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy integral theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.