평행 운송

파일:Parallel transport sphere.svg

평행 운송을 통해, 서로 다른 점에서의 올 사이의 동형을 정의할 수 있다.

미분기하학에서, 평행 운송(平行運送, 영어: parallel transport)은 올다발 속의 에레스만 접속을 사용하여 정의되는, 곡선의 양 끝점의 올 사이의 함수이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 실수 폐구간 $[a,b]⊊ℝ$
• 조각마다 매끄러운 연속 곡선 $\gamma :[a,b]\to M$
• 매끄러운 올다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $E$의 에레스만 접속 (수평 다발) $H\subseteq \mathrm{T}E$

그렇다면, $\gamma$의 $E$로의 올림은 다음 그림이 가환하게 되는 곡선

$\tilde{\gamma }:I\to E$

이다.

$\begin{array}{ccc}& & I\\ & \tilde{\gamma }\swarrow & \downarrow \gamma \\ E& \underset{\pi }{\overset{}{\to }}& M\end{array}$

$E$ 위에 에레스만 접속 $H$가 주어졌다고 하자. 만약 $\tilde{\gamma }$가 다음 조건을 만족시킨다면, $H$에 대하여 수평 올림(水平-, 영어: horizontal lift)이라고 한다.

$\frac{\mathrm{d}\tilde{\gamma }}{\mathrm{d}t}\in H_{\tilde{\gamma }(t)}\mathrm{\forall }t\in I$

즉, 올림의 접벡터가 항상 수평이어야 한다 (수평 다발 $H$에 속해야 한다).

주어진 에레스만 접속 $H$ 및 초기 조건 $\tilde{\gamma }(a)\in E_{\gamma (a)}$에 대하여, 모든 곡선은 $t_0$의 근방에서 유일한 수평 올림을 갖는다. (그러나 일반적으로 곡선의 대역적 수평 올림은 존재하지 않을 수 있다.) 즉, 이는 함수

$P(\gamma ):E_{\gamma (a)}\to E_{\gamma (b)}$

를 정의한다. 이를 $\tilde{\gamma }(a)$의, $\gamma$를 따른 평행 운송(平行運送, 영어: parallel transport)이라고 한다.

예

벡터 다발

$E$가 매끄러운 벡터 다발이며, 에레스만 접속이 $E$의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$로 주어진다고 하자. 이 경우, 평행 운송

$P(\gamma ):E_{\gamma (a)}\to E_{\gamma (b)}$

는 두 실수 벡터 공간 사이의 실수 선형 변환을 이룬다.

특히, 만약 $\gamma$가 폐곡선이라면, 이는 일반 선형군의 원소를 이룬다.

$P(\gamma )\in \mathrm{GL}(E_{\gamma (a)})$

이러한 폐곡선 평행 운송들이 구성하는 군을 홀로노미라고 한다.

주다발

리 군 $G$에 대하여 $E$가 $G$-매끄러운 주다발이며, 에레스만 접속이 $E$의 주접속이라고 하자. 이 경우, 마찬가지로 평행 운송

$P(\gamma ):E_{\gamma (a)}\to E_{\gamma (b)}$

을 정의할 수 있다. 만약 $\gamma$가 폐곡선이라면,

$P(\gamma ):E_{\gamma (a)}\to E_{\gamma (a)}$

는 어떤 군 원소 $g\in G$의 오른쪽 군 작용에 의하여 주어진다.

$P(\gamma )=(\cdot g)$

즉, 이 경우 평행 운송은 $G$의 원소로 주어진다.

같이 보기

• 아핀 접속
• 기하학적 위상
• 리 미분

외부 링크

• “Parallel transport” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Parallel transport” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Parallel transport” (영어). 《nLab》. 
• “Higher parallel transport” (영어). 《nLab》.