푸앵카레-호프 정리

미분위상수학에서 푸앵카레-호프 정리(영어: Poincaré–Hopf theorem)는 다양체의 오일러 지표를 다양체 위에 존재하는 "일반적" 벡터장의 해석적 데이터와 연관짓는 정리다.

정의

벡터장의 지표

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위에 벡터장 $v$를 생각하자. 이 벡터장의 영점($v(x)=0$인 $x\in M$)들이 고립되었다(isolated)고 하자. 즉, 영점 $x\in M$에 대하여, $x$를 포함하고 $x$와 다른 영점들을 포함하지 않는 근방 $D\ni x$가 존재한다. 이 근방 $D$는 항상 닫힌 $n$차원 공과 위상동형이게 잡을 수 있다. 그렇다면 임의로 국소좌표계를 잡아, 함수 $u_x:\partial D\to S^{n-1}$를 $y\mapsto v(y)/\Vert v(y)\Vert$로 정의할 수 있다. 영점$x$의 지표(index) ${\mathrm{ind}}_x(v)$는 함수 $u$의 브라우어르 차수 $\mathrm{deg}u$이다. 이는 국소좌표계나 $D$에 의존하지 않는 값이다.

고립된 영점을 가진 벡터장의 지표는 그 영점들의 지표들의 합이다. 즉,

$\mathrm{ind}(v)=\sum _x{\mathrm{ind}}_x(v)=\sum _x\mathrm{deg}{u}_x$

푸앵카레-호프 정리

$M$이 콤팩트 가향 다양체라고 하자. 그렇다면 $M$의 오일러 지표는 $M$ 위에 존재하는 고립된 영점들을 가지는 임의의 벡터장의 지표와 같다.

$\mathrm{ind}(v)=\chi (M)$

이 사실을 푸앵카레-호프 정리라고 한다.

예

2차원 구는 오일러 지표가 2이다. 따라서 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 털난 공 정리(hairy ball theorem)이라고 하기도 한다. 구 위에 다음과 같이 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장 또는 지표가 1인 두 개의 벡터장을 잡을 수 있다. 반면, 2차원 원환면은 오일어 지표가 0이므로, 다음과 같이 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.

• 구 위에, 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장
  구 위에, 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장
• 구 위에, 지표가 1인 두 개의 영점을 가진 벡터장
  구 위에, 지표가 1인 두 개의 영점을 가진 벡터장
• 원환면 위에, 영점을 가지지 않는 벡터장
  원환면 위에, 영점을 가지지 않는 벡터장

역사와 어원

앙리 푸앵카레와 하인츠 호프의 이름을 땄다. 푸앵카레는 2차원의 경우를 증명하였고, 호프는 이를 고차원으로 일반화하였다.

참고 문헌

• 조용승 (1999년 4월 20일). 《다양체의 미분위상수학》. 대한민국 홍천: 아르케. ISBN 89-88791-11-8. 2016년 3월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 3월 25일에 확인함. !