풍성한 범주

범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

정의

모노이드 범주

$(ℳ,\otimes :ℳ\times ℳ\to ℳ,I\in \mathrm{Ob}(ℳ),\alpha :(ℳ\otimes ℳ)\otimes ℳ\Rightarrow ℳ\otimes (ℳ\otimes ℳ),\lambda :(I\otimes ℳ)\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{ℳ},\rho :(ℳ\otimes I)\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{ℳ})$

가 주어졌다고 하자. $ℳ$ 위의 풍성한 범주(영어: category enriched over $ℳ$) $𝒞$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 모임 $\mathrm{Ob}(𝒞)$. 이 모임의 원소를 $𝒞$의 대상(영어: object)이라고 한다.
• 임의의 $X,Y\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\in \mathrm{Ob}(ℳ)$.
• 임의의 $X\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, $ℳ$-사상 ${\mathrm{id}}_X:I\to {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)$. 이는 항등 사상을 나타낸다.
• 임의의 $X,Y,Z\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, $ℳ$-사상 ${\circ }_{XYZ}:{\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\to {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Z)$. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.

• (사상 합성의 결합 법칙)

  $\begin{array}{ccccc}({\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,W)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z))\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{{\circ }_{YZW}\otimes \mathrm{id}}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,W)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{{\circ }_{XYW}}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,W)\\ \downarrow \alpha & & & & \downarrow \mathrm{id}\\ {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,W)\otimes ({\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y))& \underset{\mathrm{id}\otimes {\circ }_{XYZ}}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,W)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Z)& \underset{{\circ }_{XZW}}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,W)\end{array}$

• (사상 합성의 왼쪽 항등원)

  $\begin{array}{ccc}I\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{{\mathrm{id}}_Y\otimes \mathrm{id}}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Y)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\\ & \lambda \searrow & \downarrow {\circ }_{XYY}\\ & & {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\end{array}$

• (사상 합성의 오른쪽 항등원)

  $\begin{array}{ccc}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\otimes I& \stackrel{\mathrm{id}\otimes {\mathrm{id}}_X}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)\\ & \rho \searrow & \downarrow {\circ }_{XXY}\\ & & {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\end{array}$

풍성한 함자

모노이드 범주 $ℳ$ 위의 두 풍성한 범주 $𝒞$, $𝒟$ 사이의 $ℳ$-풍성한 함자(영어: $ℳ$-enriched functor) $F:𝒞\to 𝒟$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, 대상 $F(X)\in 𝒟$
• 두 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여, $ℳ$ 속의 사상 $F_{XY}:{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\to {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Y))$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (항등원의 보존) 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{c}I\\ {\mathrm{id}}_X\downarrow & \searrow {\mathrm{id}}_{F(X)}\\ {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)& \underset{F_{XX}}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(X))\end{array}$

• (사상 합성의 보존) 임의의 대상 $X,Y,Z\in 𝒞$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccc}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{\circ }{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Z)\\ F_{YZ}\otimes F_{XY}\downarrow & & \downarrow F_{XZ}\\ {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(Y),F(Z))\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Y))& \underset{\circ }{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Z))\end{array}$

풍성한 자연 변환

모노이드 범주 $ℳ$ 위의 두 풍성한 범주 $𝒞$, $𝒟$ 사이의 두 $ℳ$-풍성한 함자 $F,G:𝒞\to 𝒟$ 사이의 $ℳ$-풍성한 자연 변환(영어: $ℳ$-enriched natural transformation) $\eta :F\Rightarrow G$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, $ℳ$ 속의 사상 ${\eta }_X:I\to {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),G(X))$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccccc}& & {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\otimes I& \stackrel{G_{XY}\otimes {\eta }_X}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(G(X),G(Y))\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),G(X))\\ & {\rho }^{-1}\nearrow & & & & \searrow \circ \\ {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& & & & & & {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),G(Y))\\ & {\lambda }^{-1}\searrow & & & & \nearrow \circ \\ & & I\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{{\eta }_Y\otimes F_{XY}}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(Y),G(Y))\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Y))\end{array}$

만약 $ℳ$이 국소적으로 작은 닫힌 대칭 모노이드 범주일 때, $ℳ$은 스스로 $ℳ$-풍성한 범주를 이루며, 표현 가능 $ℳ$-풍성한 함자

${\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),-):𝒟\to ℳ$

${\mathrm{hom}}_{𝒟}(-,G(Y)):{𝒟}^{\mathrm{op}}\to ℳ$

가 존재한다. 이 경우, $ℳ$-풍성한 자연 변환 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.

• (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccc}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{F}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Y))\\ G\downarrow & & \downarrow {\mathrm{hom}}_{𝒟}(\mathrm{id},{\eta }_Y)\\ {\mathrm{hom}}_{𝒟}(G(X),G(Y))& \underset{{\mathrm{hom}}_{𝒟}({\eta }_X,\mathrm{id})}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),G(Y))\end{array}$

모노이드 범주 $ℳ$이 주어졌을 때, 작은(=대상 모임이 집합인) $ℳ$-풍성한 범주, $ℳ$-풍성한 함자, $ℳ$-풍성한 자연 변환은 2-범주 $ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}$를 이룬다.

연산

반대 범주

만약 $ℳ$이 대칭 모노이드 범주일 때, $ℳ$-풍성한 범주 $𝒞$의 반대 $ℳ$-풍성한 범주(영어: opposite $ℳ$-enriched category) ${𝒞}^{\mathrm{op}}$는 다음과 같다.

• $\mathrm{Ob}({𝒞}^{\mathrm{op}})=\mathrm{Ob}(𝒞)$
• ${\mathrm{hom}}_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}(X,Y)={\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,X)$
• 사상의 합성

  ${\mathrm{hom}}_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}(Y,Z)\otimes {\mathrm{hom}}_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}(X,Y)\to {\mathrm{hom}}_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}(X,Z)$

  는 다음과 같다.

  ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,Y)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,X)\stackrel{\sigma }{\to }{\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,X)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,Y)\stackrel{\circ }{\to }{\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,X)$

• 항등 사상 $I\to {\mathrm{hom}}_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}(X,X)$는 단순히 $I\stackrel{{\mathrm{id}}_X}{\to }{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)$이다.

텐서곱

만약 $ℳ$이 대칭 모노이드 범주일 때, $ℳ$-풍성한 범주 $𝒞$, $𝒟$의 텐서곱(영어: tensor product) $𝒞\otimes 𝒟$는 다음과 같다.

• $\mathrm{Ob}(𝒞\otimes 𝒟)=\mathrm{Ob}(𝒞)\times \mathrm{Ob}(𝒟)$
• ${\mathrm{hom}}_{𝒞\otimes 𝒟}((X,Y),(X^{\prime },Y^{\prime }))={\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X^{\prime })\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(Y,Y^{\prime })$
• 사상의 합성

  ${\mathrm{hom}}_{𝒞\otimes 𝒟}((X^{\prime },Y^{\prime }),(X^{″},Y^{″}))\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞\otimes 𝒟}((X,Y),(X^{\prime },Y^{\prime }))\to {\mathrm{hom}}_{𝒞\otimes 𝒟}((X,Y),(X^{″},Y^{″}))$

  은 다음과 같다.

  $({\mathrm{hom}}_{𝒞}(X^{\prime },X^{″})\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(Y^{\prime },Y^{″}))\otimes ({\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X^{\prime })\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(Y,Y^{\prime }))\stackrel{\cong }{\to }({\mathrm{hom}}_{𝒞}(X^{\prime },X^{″})\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X^{\prime }))\otimes ({\mathrm{hom}}_{𝒟}(Y^{\prime },Y^{″})\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(Y,Y^{\prime }))\stackrel{\circ \otimes \circ }{\to }{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X^{″})\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(Y,Y^{″})$

• 항등 사상 $I\stackrel{}{\to }{\mathrm{hom}}_{𝒞\otimes 𝒟}((X,Y),(X,Y))$은

  $I\stackrel{\cong }{\to }I\otimes I\stackrel{{\mathrm{id}}_X\otimes {\mathrm{id}}_Y}{\to }{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(Y,Y)$

  이다.

대칭 모노이드 범주 $ℳ$이 주어졌을 때, $ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}$는 풍성한 범주의 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 2-범주를 이룬다.

풍성함의 망각

국소적으로 작은 모노이드 범주 $ℳ$이 주어졌을 때, 작은 $ℳ$-풍성한 범주의 2-범주 $ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}$와 작은 범주의 2-범주 $\mathrm{Cat}$ 사이에 표준적인 표현 가능 2-함자

${\mathrm{hom}}_{ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}}(1_{ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}},-):ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}\to \mathrm{Cat}$

가 존재한다. 여기서 $1_{ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}}\in ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}$은 다음과 같다.

$\mathrm{Ob}(1_{ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}})=\{\bullet \}$

${\mathrm{hom}}_{1_{ℳ\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}}}(\bullet ,\bullet )=I$

예

국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 $\mathrm{Set}$ 위의 풍성한 범주와 같다.

n-범주

작은 범주의 범주 $\mathrm{Cat}$ 위의 풍성한 범주를 2-범주(영어: 2-category)라고 한다. 보다 일반적으로, $n$-범주의 범주 $n\text{-Cat}$ 위의 풍성한 범주를 $(n+1)$-범주(영어: $(n+1)$-category)라고 한다.

선형 범주

가환환 $R$ 위의 가군들의 범주 ${\mathrm{Mod}}_R$는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 $R$-선형 범주(-線型範疇, 영어: $R$-linear category)라고 한다.

준가법 범주

특히, $R=\mathbb{Z}$ (정수환)인 경우, ${\mathrm{Mod}}_R$는 아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$와 같다. $\mathrm{Ab}$-풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 영어: preadditive category)라고 하고, $\mathrm{Ab}$-풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 영어: additive functor)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(영어: additive category)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

같이 보기

• 내적 범주

참고 문헌

• Kelly, G. M. (1982). 《Basic Concepts of Enriched Category Theory》 (PDF) (영어). London Mathematical Society Lecture Note Series 64. Cambridge University Press. 

외부 링크

• “Category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Higher-dimensional category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Enriched category theory” (영어). 《nLab》. 
• “Enriched category” (영어). 《nLab》. 
• “Enriched functor” (영어). 《nLab》. 
• “Strict n-category” (영어). 《nLab》. 
• “Linear category” (영어). 《nLab》. 
• “Linear functor” (영어). 《nLab》. 
• “Preadditive category” (영어). 《nLab》. 
• “Additive functor” (영어). 《nLab》. 
• “Additive category” (영어). 《nLab》.