하이젠베르크 군

리 군론에서 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 멱영 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

표수가 2가 아닌 체 $K$
$K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V, ω : V \times V \to K)$

V \oplus K

위에 다음과 같은 군 연산을 주자.

(𝐮, s) \cdot (𝐯, t) = (𝐮 + 𝐯, s + t + ω (𝐮, 𝐯) / 2)

이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은

(𝟎, 0)

이며, 그 역원은

- (𝐮, s) = (- 𝐮, - s)

이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 $Heis (V, ω; K)$ 라고 한다.

보통 $V$ 가 명시되어 있지 않은 경우, $n = 1$ 인 경우에 해당한다. 즉, $Heis (1; ℝ) \subset GL (3; ℝ)$ 를 의미한다.

리 대수

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V, ω)$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간 $V \oplus K$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다.

[(𝐮, s), (𝐯, t)] = (𝟎, ω (𝐮, 𝐯)) \forall 𝐮, 𝐯 \in V, s, t \in K

이를 하이젠베르크 리 대수(영어: Heisenberg Lie algebra) $𝔥 𝔢 𝔦 𝔰 (V, ω; K)$ 라고 한다.

$V$ 가 유한 $2 n$ 차원일 때, 심플렉틱 기저 $(𝗉_{i}, 𝗊^{i})_{i \in {1, \dots, n}} \subseteq V$ 를 잡을 수 있다. $V \oplus K 𝖼$ 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.

[𝗉_{i}, 𝗊^{j}] = δ_{i}^{j} 𝖼

[𝗉_{i}, 𝖼] = [𝗊_{i}, 𝖼] = 0

여기서 $δ_{i}^{j}$ 는 크로네커 델타이다.

성질

하이젠베르크 군 $Heis (V, ω; K)$ 는 아벨 군 $(V, +)$ 의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.

1 \to K \overset{t \mapsto (𝟎, t)}{\to} H (V) \overset{(𝐯, t) \mapsto 𝐯}{\to} V \to 1

마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다.

0 \to K \to 𝔥 𝔢 𝔦 𝔰 (V, ω; K) \to V \to 0

여기서 $K$ 와 $V$ 는 아벨 리 대수이다.

표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.

위상수학적 성질

만약 $K \in {ℝ, ℂ}$ 일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다.

행렬 표현

표수 0의 체 $K$ 위의 내적 공간 $V$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

V^{*} \oplus V

위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다.

ω (ϕ, u) = - ω (u, ϕ) = ⟨ ϕ | u ⟩ \forall u \in V, ϕ \in V^{*}

ω (u, v) = ω (ϕ, χ) = 0 \forall u, v \in V, ϕ, χ \in V^{*}

그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

Heis (V^{*} \oplus V) \to GL (K \oplus V \oplus K)

(ϕ, u, t) \mapsto (\begin{matrix} 1 & ϕ & t + ⟨ ϕ | u ⟩ / 2 \\ 0 & 1_{V} & u \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

지수 사상

하이젠베르크 군 $Heis (2 n + 1; K)$ 의 리 대수 $𝔥 𝔢 𝔦 𝔰 (2 n + 1; K)$ 는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

(\begin{matrix} 0 & 𝐚 & c \\ 0 & 0_{n \times n} & 𝐛 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \in 𝔥 𝔢 𝔦 𝔰 (2 n + 1; K)

이 경우, 리 지수 사상은 다음과 같다.

\exp (\begin{matrix} 0 & 𝐚 & c \\ 0 & 0_{n \times n} & 𝐛 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 𝐚 & c + (𝐚 \cdot 𝐛) / 2 \\ 0 & I_{n \times n} & 𝐛 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

표현론

하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 $Heis (2 n + 1; ℝ)$ 의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간 $L^{2} (ℝ^{n})$ 위의 다음과 같은 표현 $ρ_{ℏ}$ 와 동형이다.

ρ_{ℏ} (\begin{matrix} 1 & p & t + p q / 2 \\ 0 & I_{n \times n} & q \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) : ψ (x) \mapsto \exp (i (q x + ℏ (t + p q) / 2)) ψ (x + ℏ p)

이를 리 대수 $𝔥_{2 n + 1}$ 에 대하여 표기하면 다음과 같다.

P^{i} ψ (x) = ℏ \frac{\partial}{\partial x_{i}} ψ (x)

Q_{i} ψ (x) = i x_{i} ψ (x)

C ψ (x) = i ℏ ψ (x)

같이 보기

참고 문헌

Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). 《The geometry of Heisenberg groups with applications in signal theory, optics, quantization, and field quantization》 (영어). Mathematical Surveys and Monographs 151. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3. Zbl 1155.22001.
Thangavelu, Sundaram (1998). 《Harmonic analysis on the Heisenberg group》 (영어). Progress in Mathematics 159. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4612-1772-5. ISBN 978-1-4612-7275-5. Zbl 0892.43001.
Howe, Roger Evans (1980). “On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 3 (2): 821. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9. ISSN 0273-0979. MR 578375. Zbl 0442.43002.
Semmes, Stephen (2003년 6월). “An introduction to Heisenberg groups in analysis and geometry” (PDF) (영어). 《Notices of the American Mathematical Society》 50 (6): 640–646. Zbl 1050.22012.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Heisenberg group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Jefferies, B.R.F. (2001). “Weyl calculus” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Heisenberg group” (영어). 《nLab》.
이철희. “하이젠베르크 군과 대수”. 《수학노트》.
Chafaï, Djalil (2011년 10월 8일). “Aspects of the Heisenberg group” (영어). 《Libres pensées d’un mathématicien ordinaire》.

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