사영 표현

군 표현론에서, 사영 표현(射影表現, 영어: projective representation)은 어떤 군의 원소들을 어떤 벡터 공간 위의 행렬 또는 선형 변환으로 나타내되, 행렬로서의 교환자가 군의 연산과 단위 행렬의 스칼라배만큼 다른 것을 허용한 것이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$-벡터 공간 $V$
• 군 $G$

그렇다면, $G$의 $V$ 위의 $K$-선형 사영 표현은 군 준동형

$G\to \mathrm{PGL}(V;K)=\mathrm{GL}(V;K)/K^{\times }$

이다. 여기서 $\mathrm{PGL}(V)$는 사영 선형군이다.

사영 유니터리 표현

다음이 주어졌다고 하자.

• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$
• $𝕂$-힐베르트 공간 $H$
• 리 군 $G$

그렇다면, $H$의 사영 유니터리 표현(射影unitary表現, 영어: projective unitary representation)은 연속 함수인 군 준동형

$G\to \mathrm{PU}(H)=\mathrm{U}(H)/{𝕂}^{\times }$

이다. 여기서 $\mathrm{PU}(-)$는 사영 유니터리 군을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다.

성질

선형 표현과의 관계

모든 (선형) 표현

$G\to \mathrm{GL}(V;K)$

이 주어졌을 때, 몫군 사상

$q:\mathrm{GL}(V;K)\twoheadrightarrow \mathrm{PGL}(V;K)$

을 통하여 사영 표현

$G\to \mathrm{PGL}(V;K)$

을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다.

반대로, 사영 표현

$\rho :G\to \mathrm{PGL}(V;K)$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 군을 정의하자.

$H=G{\times }_{\pi ,q}\mathrm{GL}(V;K)=\{(g,T)\in G\times \mathrm{GL}(V;K):\pi (g)=q(T)\}$

이는 군의 범주의 다음과 같은 올곱이다.

$\begin{array}{ccc}H& \stackrel{{\rho }_H}{\to }& \mathrm{GL}(V;K)\\ \varphi \downarrow \varphi & & q\downarrow q\\ G& \to \rho & \mathrm{PGL}(V;K)\end{array}$

이에 따라서, 군 준동형

${\rho }_H:H\to \mathrm{GL}(V;K)$

${\rho }_H:(g,T)\mapsto T$

이 존재한다. 또한, 군 준동형

$\varphi :H\to G$

$\varphi :(g,T)\mapsto g$

은 전사 함수이며, 그 핵인 정규 부분군은

$H\ge \mathrm{Z}(H)\ge \ker \varphi =\{(1_G,\alpha 1_V):\alpha \in K^{\times }\}\cong K^{\times }$

이다. 즉, $H$는 $G$의 중심 확대이며, 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to K^{\times }\to H\to G\to 1$

사영 유니터리 표현

리 군 $G$의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군 $\tilde{G}$의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 임의의 연결 리 군 $G$의 사영 유니터리 표현

$\rho :G\to \mathrm{PU}(n)$

이 주어졌을 때, 항상 다음 가환 네모를 완성하는 유니터리 표현 $\tilde{\rho }:\tilde{G}\to \mathrm{U}(n)$을 찾을 수 있다.

$\begin{array}{ccc}G& \stackrel{\rho }{\to }& \mathrm{PU}(n)\\ \uparrow & & \uparrow \\ \tilde{G}& \to \tilde{\rho }& \mathrm{U}(n)\end{array}$

무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 바르그만 정리(영어: Bargmann’s theorem)에 따르면, 만약 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^2(𝔩𝔦𝔢(G);ℝ)$가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

예

특수 직교군 $\mathrm{SO}(n;ℝ)$의 유한 차원 실수 사영 유니터리 표현 가운데 선형 표현으로부터 유도되지 않는 것은 스피너 사영 표현이다. 이들은 중심 확대이자 범피복군인 스핀 군

$1\to \mathrm{Cyc}(2)\cong \mathrm{Z}(\mathrm{Spin}(n))\to \mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)\to 1(n\ge 3)$

의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

범피복군으로부터 유도되지 않는 사영 유니터리 표현

아벨 리 군

${ℝ}^{2n}=\{(𝐱,𝐩):𝐱,𝐩\in {ℝ}^n\}$

의, 르베그 공간 ${\mathrm{L}}^2({ℝ}^n)$ 위의 다음과 같은 사영 표현

$\rho :{ℝ}^{2n}\to {\mathrm{L}}^2({ℝ}^n)$

을 생각하자.

$\rho (𝐱,\mathrm{𝟎})f(𝐲)=f(𝐲-𝐱)$

$\rho (\mathrm{𝟎},𝐩)f(𝐲)=\exp (\mathrm{i}𝐩\cdot 𝐲)f(𝐲)$

이는 양자역학에서 위치 및 운동량 연산자에 해당한다. 이 두 연산자의 교환자는 절댓값 1의 복소수이므로, 이는 사영 유니터리 표현을 이룬다.

${ℝ}^{2n}$은 단일 연결 공간이다 (스스로의 범피복군이다). 그러나 이 사영 유니터리 표현은 ${ℝ}^{2n}$의 유니터리 표현으로부터 유도되지 못하며, ${ℝ}^{2n}$의 중심 확장인 하이젠베르크 군

$1\to {ℝ}^{\times }\to \mathrm{Heis}(n;ℝ)\to {ℝ}^{2n}\to 1$

의 유니터리 표현으로 유도된다.

역사

바르그만 정리는 발렌티네 바르그만(독일어: Valentine Bargmann, 1908〜1989)이 1954년에 증명하였다.

같이 보기

• 군의 확대
• 입자물리학과 표현론의 관계
• 스피너
• 하이젠베르크 군

외부 링크

• “Projective representation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective representation” (영어). 《nLab》.