홈플리 다항식

매듭 이론에서 홈플리 다항식(HOMFLY多項式, 영어: HOMFLY polynomial)은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다.

정의

홈플리 다항식은 모든 유향 연환

$K:({𝕊}^1{)}^{\bigsqcup n}\hookrightarrow {𝕊}^3$

에 대하여 정의되는, 두 변수 $\alpha$, $z$에 대한 정수 계수 다항식

$P_K(\alpha ,z)\in \mathbb{Z}[\alpha ,{\alpha }^{-1},z,z^{-1}]$

이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.

• (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 $◯$에 대하여, $P_{◯}(\alpha ,z)=1$
• (타래 관계 영어: skein relation) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 $L_{+}$, $L_{-}$, $L_0$를 정의하였다고 하자.

  

그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.

$\alpha P_{L_{+}}(\alpha ,z)-{\alpha }^{-1}{P}_{L_{-}}(\alpha ,z)=z{P}_{L_0}(\alpha ,z)$

존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.

• 존스 다항식(영어: Jones polynomial): $V_L(q)=P_L(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})$
• 알렉산더 다항식(영어: Alexander polynomial): ${\Delta }_L(q)=P_L(1,q^{1/2}-q^{-1/2})$

성질

홈플리 다항식 $P_L(\alpha ,z)\in \mathbb{Z}[\alpha ,{\alpha }^{-1},z,z^{-1}]$은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식

$V_L(q)=P_L(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb{Z}[q^{1/2},q^{-1/2}]$

${\Delta }_L(q)=P_L(1,q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb{Z}[q^{1/2},q^{-1/2}]$

은 $q^{1/2}$에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

연산과의 호환성

홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 $K$, $K^{\prime }$에 대하여, 다음이 성립한다.

$P_{K\mathrm{\#}{K}^{\prime }}(\alpha ,z)=P_K(\alpha ,z)P_{K^{\prime }}(\alpha ,z)$

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 $L=L_1\bigsqcup L_2$에 대하여, 다음이 성립한다.

$P_{L_1\bigsqcup L_2}(\alpha ,z)=\frac{\alpha -{\alpha }^{-1}}{z}{P}_{L_1}(\alpha ,z)P_{L_2}(\alpha ,z)$

유향 연환 $L:({𝕊}^1{)}^{\bigsqcup n}\hookrightarrow {𝕊}^3$의 거울 대칭을

$\overline{L}=\iota \circ L$

$\iota :{𝕊}^3\to {𝕊}^3$

이라고 할 때, 다음이 성립한다.

$P_{\overline{L}}(\alpha ,z)=P_L(-{\alpha }^{-1},z)$

즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

천-사이먼스 이론과의 관계

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 천-사이먼스 이론입니다.

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 $k\in \mathbb{N}$의 $\mathrm{SU}(N)$ 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 $L$에 대한, $N$차원 정의 표현(영어: defining representation)에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.^{:382, (4.22–4.23)}

$⟨\mathrm{tr}{\oint }_{L}A⟩=\frac{\alpha -{\alpha }^{-1}}{z}{P}_L(\alpha ,z)$

$q=\exp \frac{2\pi \mathrm{i}}{N+k}$

$z=q^{1/2}-q^{-1/2}$

$\alpha =q^{N/2}$

예

간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

매듭	홈플리 다항식
공집합 (0개 연결 성분의 연환)	$z/(\alpha -{\alpha }^{-1})$
자명한 매듭 01	1
$n$개 연결 성분의 자명한 연환	$(\alpha -{\alpha }^{-1}{)}^{n-1}/z^{n-1}$
세잎매듭 31 (왼손)	$2{\alpha }^2-{\alpha }^4+\alpha z^2$
세잎매듭 31 (오른손)	$2{\alpha }^{-2}-{\alpha }^{-4}+{\alpha }^{-2}{z}^2$
8자 모양 매듭 41	$-1+{\alpha }^2+{\alpha }^{-2}-z^2$
호프 연환 $2_1^1$ (연환수 +1)	$-{\alpha }^{-3}{z}^{-1}+{\alpha }^{-1}z+{\alpha }^{-1}{z}^{-1}$
호프 연환 $2_1^1$ (연환수 −1)	${\alpha }^3{z}^{-1}-\alpha z-\alpha z^{-1}$

타래 관계의 예

자명한 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

파일:Skein-relation-link20-plus-sm.png	섬네일을 만드는 중 오류 발생:	파일:Skein-relation-link20-zero-sm.png
$L_{+}$	$L_{-}$	$L_0$
자명한 매듭 $0_1$	자명한 매듭 $0_1$	자명한 연환 $0_1\bigsqcup 0_1$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

$\alpha -{\alpha }^{-1}=z{P}_{0_1\bigsqcup 0_1}(\alpha ,z)$

즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

$P_{0_1\bigsqcup 0_1}(\alpha ,z)=\frac{\alpha -{\alpha }^{-1}}{z}$

호프 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:	파일:Skein-relation-link22-minus-sm.png	섬네일을 만드는 중 오류 발생:
$L_{+}$	$L_{-}$	$L_0$
호프 연환 $2_1^1$ (연환수 +1)	자명한 연환 $0_1\bigsqcup 0_1$	자명한 매듭 $0_1$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

$\alpha P_{2_1^1}(\alpha ,z)-{\alpha }^{-1}\left(\frac{\alpha -{\alpha }^{-1}}{z}\right)=z$

즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

$P_{2_1^1}(\alpha ,z)={\alpha }^{-1}z+{\alpha }^{-1}{z}^{-1}-{\alpha }^{-3}{z}^{-1}$

만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 $\alpha \mapsto -{\alpha }^{-1}$가 되며,

$P_{2_1^1}(\alpha ,z)=-\alpha z-\alpha z^{-1}+{\alpha }^3{z}^{-1}$

를 얻는다.

유향 연환	섬네일을 만드는 중 오류 발생:	파일:Linking Number -1.svg
연환수	+1	−1
홈플리 다항식	${\alpha }^{-1}z+{\alpha }^{-1}{z}^{-1}-{\alpha }^{-3}{z}^{-1}$	$-\alpha z-\alpha z^{-1}+{\alpha }^3{z}^{-1}$

세잎매듭

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:	파일:Skein-relation-trefoil-minus-sm.png	파일:Skein-relation-trefoil-zero-sm.png
$L_{+}$	$L_{-}$	$L_0$
세잎매듭 $3_1$	자명한 매듭 $0_1$	호프 연환 $2_1^1$ (연환수 +1)

이에 따라 타래 관계는

$\alpha P_{3_1}(\alpha ,z)-{\alpha }^{-1}=z({\alpha }^{-1}z+{\alpha }^{-1}{z}^{-1}-{\alpha }^{-3}{z}^{-1})$

이다. 즉,

$P_{3_1}(\alpha ,z)=2{\alpha }^{-2}-{\alpha }^{-4}+{\alpha }^{-2}{z}^2$

이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면

$P_{3_1}(\alpha ,z)=2{\alpha }^2-{\alpha }^4+{\alpha }^2{z}^2$

이다.

매듭	섬네일을 만드는 중 오류 발생:	파일:TrefoilKnot 01.svg
이름	왼손 세잎매듭	오른손 세잎매듭
홈플리 다항식	$2{\alpha }^2-{\alpha }^4+{\alpha }^2{z}^2$	$2{\alpha }^{-2}-{\alpha }^{-4}+{\alpha }^{-2}{z}^2$

홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭

매듭 9₄₂은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다). 매듭 10₇₁의 경우도 마찬가지다.

역사

제임스 워델 알렉산더가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 존 호턴 콘웨이가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다. 이후 1984년에 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다.

1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드(영어: Peter John Freyd, 1936~) · 데이비드 예터(영어: David N. Yetter) · 짐 호스트(영어: Jim Hoste) · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(영어: William Bernard Raymond Lickorish, 1938~) · 케네스 밀렛(영어: Kenneth Millett, 1941~) · 아드리안 오크네아누(언어 오류(ro): Adrian Ocneanu)가 공동으로 발견하였다. “홈플리”(영어: HOMFLY)라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다.

거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키(폴란드어: Józef Henryk Przytycki, 1953~)와 파베우 트라치크(폴란드어: Paweł Traczyk)가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다. 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”(영어: HOMFLY–PT polynomial) 또는 “플립모스 다항식”(영어: FLYPMOTH polynomial) 따위로 불리기도 한다.

이후 1989년에 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 관계를 발견하였다.

외부 링크

• “Jones-Conway polynomial” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Alexander-Conway polynomial” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Conway skein triple” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “HOMFLY polynomial” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Jones polynomial” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Alexander polynomial” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Conway polynomial” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “HOMFLY-PT polynomial” (영어). 《nLab》. 
• “Jones polynomial” (영어). 《nLab》. 
• “Alexander polynomial” (영어). 《nLab》. 
• “The HOMFLY-PT polynomial” (영어). 《The Knot Atlas》. 2017년 9월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 10일에 확인함. 
• “존스 다항식(Jones polynomial)”. 《The Mathlyblog》. 2016년 1월 21일.