르베그 공간

함수해석학에서 르베그 공간(Lebesgue空間, 영어: Lebesgue space) 또는 L^p 공간(영어: L^p-space)은 절댓값의 $p$ 제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

정의

측도 공간 $(X, Σ, μ)$ 및 음이 아닌 확장된 실수 $0 \leq p \leq \infty$ 가 주어졌다고 하고, $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ 가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간 $L^{p} (X; 𝕂)$ 는 $𝕂$ -위상 벡터 공간이며, 그 정의는 $p$ 의 값에 따라 다음과 같다.

L^p (0 < p ≤ ∞)

$0 < p \leq \infty$ 및 가측 함수 $f : X \to 𝕂$ 에 대하여 다음 기호를 정의하자.

‖ \cdot ‖_{p} : ℳ (X; 𝕂) \to [0, \infty]

‖ f ‖_{p} = {\begin{matrix} \sqrt[p]{\int_{X} | f (x) |^{p} d μ} & p < \infty \\ \inf {C \in ℝ : μ ({x \in X : | f (x) | > C}) = 0} & p = \infty \end{matrix}

그렇다면, $ℒ^{p}$ 를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

ℒ^{p} (X; 𝕂) = {f \in ℳ (X; 𝕂) : ‖ f ‖_{p} < \infty}

여기서 $ℳ (X; Y)$ 는 두 측도 공간 $X, Y$ 사이의 가측 함수의 집합이며, $𝕂$ 의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

$ℒ^{p} (X; 𝕂)$ 는 $𝕂$ 에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간

(‖ \cdot ‖_{p})^{- 1} (0) = {f \in ℳ (X; 𝕂) | ‖ f ‖_{p} = 0} \subseteq ℒ^{p} (X; 𝕂)

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간 $L^{p} (X; 𝕂)$ 라고 한다.^[1]^{:43, §II.2}^[2]^{:31, §1.43; 35, §1.47}

L^{p} (X; 𝕂) = \frac{ℒ^{p} (X; 𝕂)}{(‖ \cdot ‖_{p})^{- 1} (0)}

이 위에는 "열린 공"들

{ball (f, r) : r \in ℝ^{+}, f \in L^{p} (X; 𝕂)}

ball (f, r) = {g \in L^{p} (X; 𝕂) : ‖ f - g ‖_{p} < r}

을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, $p < 1$ 이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 $p \geq 1$ 이라면, $‖ \cdot ‖_{p}$ 는 $L^{p} (X; 𝕂)$ 위의 완비 노름을 이루며, $L^{p} (X; 𝕂)$ 는 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 $p < 1$ 이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L⁰

$p = 0$ 인 경우, $L^{0} (X; 𝕂)$ 은 모든 가측 함수 $X \to 𝕂$ 의 (동치류의) 공간이다. 즉, $𝕂$ -벡터 공간 $ℳ (X; 𝕂)$ 에

𝒩 = {f \in ℳ (X; 𝕂) : μ ({x \in X : f (x) \neq 0}) = 0}

를 정의하였을 때

L^{0} (X; 𝕂) = \frac{ℳ (X; 𝕂)}{𝒩}

이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족

{d_{S}}_{S \in Σ, μ (S) < \infty}

d_{S} (f, g) = \int_{S} \min {| f - g |, 1} d μ

을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

ℓ^p

만약 $X$ 가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간 $ℕ$ 일 경우,

ℒ^{p} (ℕ; 𝕂) = L^{p} (ℕ; 𝕂) = ℓ^{p} (𝕂)

로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 $ℒ^{p}$ 와 $L^{p}$ 를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 $f \in ℳ (ℕ; 𝕂)$ 는 $𝕂$ 값을 갖는 수열이 되고, 노름 $‖ \cdot ‖_{p}$ 은 다음과 같다.

‖ f ‖_{p} = {\begin{matrix} \sqrt[p]{\sum_{i = 0}^{\infty} | f_{i} |^{p}} & 0 < p < \infty \\ \sup_{i \in ℕ} | f_{i} | & p = \infty \end{matrix}

성질

민코프스키 부등식

만약 $1 \leq p \leq \infty$ 일 경우, $‖ \cdot ‖_{p}$ 는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

‖ f + g ‖_{p} \leq ‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p} (f, g \in L^{p} (X; 𝕂))

만약 $0 < p < 1$ 일 경우, $‖ \cdot ‖_{p}$ 는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.^[3]^:816

‖ f + g ‖_{p} \leq 2^{(1 - p) / p} (‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p}) (f, g \in L^{p} (X; 𝕂))

증명:

임의의 두 음이 아닌 실수 $s, t \in ℝ_{\geq 0}$ 에 대하여

(s + t)^{p} \leq s^{p} + t^{p} \leq 2^{1 - p} (s + t)^{p}

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

(‖ f + g ‖_{p})^{p} = \int_{X} | f + g |^{p} d μ \leq \int_{X} (| f | + | g |)^{p} d μ \leq \int_{X} (| f |^{p} + | g |^{p}) d μ = (‖ f ‖_{p})^{p} + (‖ g ‖_{p})^{p} \leq 2^{1 - p} (‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p})^{p}

이다.

바나흐·힐베르트 공간일 조건

임의의 측도 공간 $(X, Σ, μ)$ 및 $p \in [0, \infty]$ 및 $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

(리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약 $1 \leq p \leq \infty$ 라면 $L^{p} (X; 𝕂)$ 는 $𝕂$ -바나흐 공간이다.
만약 $1 < p < \infty$ 라면 $L^{p} (X; 𝕂)$ 는 $𝕂$ -반사 바나흐 공간이다. (그러나 $p = 1$ 또는 $p = \infty$ 인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
만약 $p = 2$ 일 경우 $L^{p} (X; 𝕂)$ 는 $𝕂$ -힐베르트 공간이다. (그러나 $X$ 의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
만약 $𝕂 = ℂ$ 이며 $p = \infty$ 일 경우 $L^{\infty} (X; ℂ)$ 는 가환 C* 대수이다. 만약 $X$ 가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

연속 쌍대 공간

임의의 측도 공간 $(X, Σ, μ)$ 및 $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ 및 $1 < p < \infty$ 에 대하여, $L^{p} (X; 𝕂)$ 의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

(L^{p} (X; 𝕂))^{'} = L^{q} (X; 𝕂) (1 / p + 1 / q = 1)

구체적으로, 이 동형 사상은

L^{p} (X; 𝕂) \times L^{q} (X; 𝕂) \to 𝕂

([f], [g]) \mapsto \int_{X} f (x) g (x) d μ (x)

이다. 특히, $p = 2$ 일 경우 $L^{2}$ 는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나 $L^{\infty}$ 의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 $L^{1}$ 보다 훨씬 크다. 반면, 만약 $X$ 가 시그마 유한 측도를 갖추었다면, $(L^{1})^{'} = L^{\infty}$ 이다.

포함 관계

임의의 두 확장된 실수

0 < p < q \leq \infty

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간 $(X, Σ, μ)$ 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

㈎

\sup {μ (S) : S \in Σ, μ (S) \neq \infty} < \infty

㈏

\inf {μ (S) : S \in Σ, μ (S) \neq 0} > 0

그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.^[4]

㈎

⟺ L^{p} (X; 𝕂) \subseteq L^{q} (X; 𝕂)

㈏

⟺ L^{p} (X; 𝕂) \supseteq L^{q} (X; 𝕂)

㈎와 ㈏가 동시에 성립

⟺ L^{p} (X; 𝕂) = L^{q} (X; 𝕂)

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.

측도 공간	㈎	㈏
유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 위의 르베그 측도 ( $n > 0$ )	❌	❌
유한 집합 위의 셈측도	⭕	⭕
무한 집합 위의 셈측도	❌	⭕
유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합	⭕	❌

예

유한 집합

$X$ 가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 $0 \leq p \leq \infty$ 에 대하여

L^{p} (X; 𝕂) = 𝕂^{X}

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 $𝕂$ 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 $X$ 의 크기이다.

$p$ 의 값에 따라, $𝕂^{X}$ 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

‖ f ‖_{p} = \sqrt[p]{\sum_{x \in X} | f (x) |^{p}} (0 < p < \infty)

‖ f ‖_{\infty} = \max_{x \in X} | f (x) |

만약 $p = 2$ 일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, $| X | \geq 2$ 이자 $1 \leq p \neq 2$ 일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

수열 공간

$X = ℕ$ 일 경우, $p$ 의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 $ℓ^{p} (𝕂)$ 공간의 성질은 다음과 같다.

$p$ 의 범위	$ℓ^{p} (𝕂)$ 의 성질
$0 \leq p < 1$	$𝕂$ -위상 벡터 공간 ( $𝕂$ -국소 볼록 공간이 아님)
$1 \leq p < 2$	$𝕂$ -바나흐 공간
$p = 2$	분해 가능 $𝕂$ -힐베르트 공간
$2 < p \leq \infty$	$𝕂$ -바나흐 공간

디랙 측도

집합 $X$ 속의 원소 $x_{0} \in X$ 가 주어졌으며,

μ (S) = {\begin{matrix} 1 & S ∋ x_{0} \\ 0 & S ∌ x_{0} \end{matrix}

라고 하자. 그렇다면, $0 \leq p \leq \infty$ 에 대하여, $L^{p} (X; 𝕂)$ 는 다음과 같다.

L^{p} (X; 𝕂) = 𝕂

‖ f ‖_{p} = | f (x_{0}) | (0 < p \leq \infty)

역사

"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

$ℓ^{2}$ 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).^[5]^{:V.83, Note historique} 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.^[5]^{:V.84, Note historique} 힐베르트의 이론을 $p \neq 2$ 로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.^[6]^{:§3, 457–459}^[5]^{:V.86, Note historique} 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 $L^{p}$ 를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 $L^{p}' = L^{q}$ ( $1 / p + 1 / q = 1$ )을 증명하였다.

같이 보기

소볼레프 공간

각주

↑ Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 3. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》 2판 (영어). International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ Day, Mahlon M. (1940). “The spaces L^p with 0<p<1” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 46 (10): 816–823. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07308-2. ISSN 0273-0979. MR 2700.
↑ Villani, Alfonso (1985). “Another note on the inclusion L^p(μ) ⊂ L^q(μ)” (영어). 《American Mathematical Monthly》 92 (7): 485–487. doi:10.2307/2322503. JSTOR 2322503. MR 801221.
↑ ^가 ^나 ^다 Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》 (프랑스어). Éléments de mathématique. Masson.
↑ Riesz, Frigyes (1910). “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen” (독일어). 《Mathematische Annalen》 69 (4): 449–497. doi:10.1007/BF01457637. ISSN 0025-5831.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “L^p-space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “L^2-space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Lebesgue space” (영어). 《nLab》.
Tao, Terrence (2009년 1월 9일). “L^p spaces” (영어). 《What’s New》.

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[1] Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 3. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[2] Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》 2판 (영어). International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[3] Day, Mahlon M. (1940). “The spaces L^p with 0<p<1” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 46 (10): 816–823. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07308-2. ISSN 0273-0979. MR 2700.

[4] Villani, Alfonso (1985). “Another note on the inclusion L^p(μ) ⊂ L^q(μ)” (영어). 《American Mathematical Monthly》 92 (7): 485–487. doi:10.2307/2322503. JSTOR 2322503. MR 801221.

[Bourbaki-5] 가 ^나 ^다 Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》 (프랑스어). Éléments de mathématique. Masson.

[6] Riesz, Frigyes (1910). “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen” (독일어). 《Mathematische Annalen》 69 (4): 449–497. doi:10.1007/BF01457637. ISSN 0025-5831.

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정의

Lp (0 < p ≤ ∞)

L0

ℓp

성질