바나흐 공간

함수해석학에서 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다.^[1]^[2]^[3]^[4] 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의

$𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ 가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$𝕂$ -노름 공간 $(X, ‖ \cdot ‖)$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $𝕂$ -노름 공간을 $𝕂$ -바나흐 공간이라고 한다.

(노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 $(v_{i})_{i \in ℕ} \subseteq X$ 에 대하여, 만약 $\sum_{i \in ℕ} ‖ v_{i} ‖ < \infty$ 라면, 급수 $\sum_{i \in ℕ} v_{i}$ 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.^[5]^{:8, §1.2, Exercise 1.2.1}

체 $𝕂$ 를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

부분 공간

$𝕂$ -바나흐 공간 $V$ 의 부분 벡터 공간 $ι : W ↪ V$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $W$ 가 닫힌집합이라면 $W$ 는 역시 바나흐 공간을 이룬다.

만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 $P : V \to W$ 가 존재한다면, $W$ 를 여공간을 가지는 부분 공간(영어: complemented subspace)라고 한다.

$P$ 는 전사 함수이다.
$ι \circ P : V \to V$ 는 ( $W$ 로의) 사영이다. 즉, $ι \circ P \circ ι \circ P = ι \circ P$ 이다.
$P$ 는 유계 작용소이다.

여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간

여분 부분 공간 $W \subseteq V$ 가 주어졌을 때, 바나흐 공간 $V$ 를 다음과 같이 분해할 수 있다.

V = W \oplus \ker P

그러나 이러한 $P$ 는 유일하지 않을 수 있다.

연산

완비화

$𝕂$ -노름 공간 $V$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 $𝕂$ -바나흐 공간 $\bar{V}$ 및 등거리 선형 변환 $ι : V \to \bar{V}$ 가 존재한다.

상 $ι (V) \subseteq \bar{V}$ 는 $\bar{V}$ 의 조밀 집합이다.

또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

임의의 $𝕂$ -바나흐 공간 $W$ 및 등거리 선형 변환 $j : V \to W$ 에 대하여, 만약 $j (V)$ 가 조밀 집합이라면, $j = i \circ ι$ 인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) $i : \bar{V} \to W$ 가 존재한다.

$\bar{V}$ 는 거리 공간으로서 $V$ 의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 $V$ 가 이미 바나흐 공간이라면 $ι$ 는 바나흐 공간 동형 사상이다.

부분 공간과 몫공간

$𝕂$ -바나흐 공간 $X$ 의 $𝕂$ -부분 벡터 공간 $Y \subseteq X$ 에 제한 노름 $‖ ‖_{X} ↾ Y$ 를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$Y$ 는 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다.
$Y$ 는 닫힌집합이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 $Y \subseteq X$ 에 대한 몫공간 $X / Y$ 위에

‖ x + Y ‖ = \inf_{y \in Y} ‖ x + y ‖

으로 노름을 주자. 그렇다면 $X / Y$ 역시 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다.

상

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$𝕂$ -바나흐 공간 $X$
$𝕂$ -노름 공간 $Y$
연속 열린 $𝕂$ -선형 변환 $T : X \to Y$

그렇다면, $T (X)$ 는 $𝕂$ -바나흐 공간이다.

직합

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$𝕂$ -노름 공간의 집합 $(V_{i})_{i \in I}$
확장된 실수 $1 \leq p \leq \infty$

그렇다면, 직합

\tilde{V} = ⨁_{i \in I} V_{i}

위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

‖ ⨁_{i \in I} v_{i} ‖ = {\begin{matrix} \sqrt[p]{\sum_{i \in I} ‖ v_{i} ‖_{V_{i}}^{p}} & p < \infty \\ \max_{i \in I} ‖ v_{i} ‖_{V_{i}} & p = \infty \end{matrix}

그렇다면, $\tilde{V}$ 는 $𝕂$ -내적 공간을 이룬다.

만약 $I$ 가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

모든 $i$ 에 대하여 $V_{i}$ 가 바나흐 공간이다.
$\tilde{V}$ 는 바나흐 공간이다.

이 경우, $\tilde{V}$ 의 ( $p$ -노름으로 정의되는) 위상은 $p$ 에 의존하지 않는다.

그러나 만약 $I$ 가 무한 집합이라면, $V_{i}$ 가 모두 바나흐 공간이라도 $\tilde{V}$ 가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 $\tilde{V}$ 의 완비화 $V$ 를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 $p \in [1, \infty]$ 에 따라 다르다.

텐서곱

힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다.^[6]^[7] 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(영어: projective topological tensor product)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(영어: injective topological tensor product)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

성질

바나흐 공간 사이의 선형 변환

바나흐-샤우데르 정리(-定理, 영어: Banach-Schauder theorem) 또는 열린 사상 정리(-寫像定理, 영어: open mapping theorem)에 따르면, 임의의 두 $𝕂$ -바나흐 공간 $V$ , $W$ 사이의 전사 유계 작용소 $T : V \to W$ 는 열린 함수이다.^[8]^{:48, Theorem 2.11} 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)

이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.

증명:

$V$ 속의 단위 열린 공의 상

T ({ball}_{V} (0, 1))

이 $0_{W}$ 의 근방임을 증명하면 족하다.

우선, $V$ 는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다.

V = ⋃_{n \in ℤ^{+}} {ball}_{V} (0, n)

$T$ 가 전사 함수이므로

W = T (V) = ⋃_{n = 1}^{\infty} T ({ball}_{V} (0, n))

이다.

베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 $W$ 는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,

{ball}_{W} (n c, n r) \subseteq cl (T ({ball}_{V} (0, n)))

인 양의 정수 $n \in ℤ^{+}$ 및 $c \in W$ 및 양의 실수 $r > 0$ 가 존재한다. ( $ball (-, -)$ 는 열린 공을 뜻한다.) 즉,

{ball}_{W} (c, r) \subseteq cl (T ({ball}_{V} (0, 1)))

이다.

이제,

{ball}_{W} (0, r) \subseteq cl (T ({ball}_{V} (0, 1)))

를 증명하자. 우선,

cl (T ({ball}_{V} (0, 1))) = - cl (T ({ball}_{V} (0, 1)))

이므로, 임의의 $w \in {ball}_{W} (0, r)$ 에 대하여,

w \pm c \in ball (\pm c, r) \subseteq cl (T ({ball}_{V} (0, 1)))

이며, $cl (T ({ball}_{V} (0, 1)))$ 는 볼록 집합이므로

w = \frac{(w + c) + (w - c))}{2} \in cl (T ({ball}_{V} (0, 1)))

이다.

이제

{ball}_{W} (0, r / 2) \subseteq T (\frac{2}{r} {ball}_{V} (0, 1))

를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 $w \in {ball}_{W} (0, r / 2)$ 에 대하여, $T v = w$ 인 $v \in V$ 를 찾으면 족하다.

다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 $(v_{1}, v_{2}, \dots)$ 을 재귀적으로 고를 수 있다.

‖ v_{i} ‖ < 2^{- i} \forall i \in ℤ^{+}

‖ w - T v_{1} - \dots - T v_{i} ‖ < 2^{- i - 1} r \forall i \in ℤ^{+}

(이는 $r$ 의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,

v = \sum_{i = 1}^{\infty} v_{i} \in {ball}_{V} (0, 1)

를 정의할 수 있다. $T$ 가 연속 함수이므로

T v = w

이다.

특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.^[8]^{:51, Theorem 2.15} 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)에 따르면, 두 $𝕂$ -바나흐 공간 $V$ , $W$ 사이의 $𝕂$ -선형 변환 $T : V \to W$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

연속 함수이다.
유계 작용소이다.
$graph T = {(v, T v) : v \in V} \subseteq V \oplus W$ 는 (곱위상을 부여한) $V \oplus W$ 속의 닫힌집합이다.

증명:

연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다.

$graph T \subseteq V \oplus W$ 가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 $graph T$ 는 (임의의 $p \in [1, \infty]$ 에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수

π_{V} : graph T ↠ V

π_{W} : graph T ↠ W

는 정의에 따라 연속 함수이다. $π_{V}$ 는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 $π_{V}$ 는 위상 동형 사상이다. 따라서

T = π_{W} \circ π_{V}^{- 1} : V \to W

역시 연속 함수이다.

즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

닫힌 그래프 선형 변환
⇕
연속 선형 변환
⇕
유계 작용소	⇐	전사 유계 작용소	⇒	열린 유계 작용소
⇑		⇑
단사 유계 작용소	⇐	전단사 유계 작용소	⇒	닫힌 유계 작용소
		⇕
		위상 동형 유계 작용소

이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

$𝕂$ -힐베르트 공간	⇒	$𝕂$ -반사 바나흐 공간	⇒	$𝕂$ -바나흐 공간
⇓				⇓
$𝕂$ -내적 공간	⟹			$𝕂$ -노름 공간

샤우데르 기저

벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

바나흐 공간 위의 미적분학

바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

분류

분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

L¹의 몫공간으로의 표현

모든 분해 가능 $𝕂$ -바나흐 공간은 르베그 공간 $ℓ^{1} (𝕂)$ 의 몫공간이다. 즉, $ℓ^{1} (𝕂)$ 에 닫힌 $𝕂$ -부분 벡터 공간 $M$ 이 존재하여, $X ≅ ℓ^{1} (𝕂) / M$ 이다.^[9]

$𝒞^{0}$ 의 부분 공간으로의 표현

바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理, 독일어: Banach–Mazur theorem)에 따르면, 임의의 $𝕂$ -바나흐 공간 $V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 등거리 $𝕂$ -선형 변환 $ι : V \to 𝒞^{0} (K, 𝕂)$ 가 존재한다.
만약 $V$ 가 분해 가능 공간이라면, 등거리 $𝕂$ -선형 변환 $ι : V \to 𝒞^{0} ([0, 1], 𝕂)$ 가 존재한다.

여기서 $𝒞^{0} (-, 𝕂)$ 는 $𝕂$ 값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은

‖ f ‖ = \sup_{x \in K} | f (x) |

이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 $V$ 가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 $V^{'}$ 의 단위 닫힌 공 $K = {ball}_{V^{'}} (0, 1)$ 을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 $v \in V$ 에 대하여 연속 함수

K \to 𝕂

f \mapsto f (v)

는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수

V \to 𝒞^{0} (K)

v \mapsto (f \mapsto f (x))

를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.

만약 $V$ 가 추가로 분해 가능 공간이라면, $𝒞^{0} (K, ℝ)$ 는 $𝒞^{0} ([0, 1], ℝ)$ 의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.

바나흐-마주르 거리

바나흐-마주르 콤팩트 공간(영어: Banach–Mazur compactum)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다.

자연수 $n$ 및 $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ 및 두 $n$ 차원 실수 바나흐 공간 $V$ , $W$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 $𝕂$ -선형 변환들의 공간 $GL (V, W)$ 을 생각할 수 있다. 이 경우, $V$ 와 $W$ 사이의 바나흐-마주르 거리(영어: Banach–Mazur distance)는 다음과 같다.

d (V, W) = \ln_{T \in GL (V, W)} ‖ T ‖ ‖ T^{- 1} ‖

여기서 $‖ T ‖$ 는 작용소 노름이다.

이는 삼각 부등식을 만족시킨다. $n$ 차원 $𝕂$ -바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다.

예

유클리드 공간

자연수 $n \in ℕ$ 에 대하여, 유한 차원 $𝕂$ -벡터 공간 $𝕂^{n}$ 위에 노름

‖ (x_{1}, \dots, x_{n}) ‖ = \sqrt{| x_{1} |^{2} + \dots + | x_{n} |^{2}}

를 부여하면, 이는 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다.

르베그 공간

임의의 측도 공간 $(X, Σ, μ)$ 및 확장된 실수 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대하여, 르베그 공간 $L^{p} (X; 𝕂)$ 는 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다.

수렴 수열 공간

수렴 수열 공간 $c (𝕂)$ 과 영 수렴 수열 공간 $c_{0} (𝕂)$ 은 둘 다 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다.

힐베르트 공간

임의의 $𝕂$ -힐베르트 공간 $ℋ$ 에 대하여,

‖ v ‖ = \sqrt{⟨ v, v ⟩} (v \in ℋ)

로 노름을 정의하면 이는 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다.

연속 함수 공간

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 위의, $𝕂$ 값의 연속 함수들의 $𝕂$ -벡터 공간

𝒞^{0} (X, 𝕂)

에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

‖ f ‖ = \max_{x \in X} | f (x) |

이는 $𝕂$ -바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 $𝕂$ -바나흐 대수를 이룬다.

역사

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.^[10] 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,^[11]^:238 이듬해 율리우시 샤우데르^[12]가 개량하였다.^[13]^{:261, §5.4}^[14]^{:466, §14.4}

각주

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외부 링크

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