라게르 다항식

파일:Laguerre poly.svg

라게르 다항식의 그래프

수학에서 라게르 다항식(Laguerre多項式, 영어: Laguerre polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다. 양자역학 등에서 등장한다.

정의

라게르 다항식 $L_n$은 다음과 같은 로드리게스 공식(영어: Rodrigues formula)으로 정의된다.

$L_n(x)=\frac{1}{n!}\exp (x)\frac{d^n}{d{x}^n}\exp (-x)x^n$

물리학에서는 $1/n!$ 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다.

표

라게르 다항식의 값들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A021010)

n	n!Ln(x)
0	$1$
1	$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

성질

직교성

라게르 다항식들은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{L}_m(x)L_n(x)e^{-x}={\delta }_{mn}$

여기서 ${\delta }_{mn}$은 크로네커 델타이다.

점화식과 생성함수

라게르 다항식은 다음과 같은 점화식을 따른다.

$L_{n+1}(x)=\frac{1}{n+1}((2n+1-x)L_n(x)-n{L}_{n-1}(x))$

라게르 다항식의 생성함수는 다음과 같다.

$\sum _n^{\mathrm{\infty }}{t}^n{L}_n(x)=\frac{1}{1-t}\exp \left(\frac{-tx}{1-t}\right)$

이를 전개하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.

$L_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k$

갈루아 군

라게르 다항식은 항상 $\mathbb{Q}[x]$의 기약 다항식이다.

라게르 다항식의 갈루아 군은 대칭군이다.

$\mathrm{Gal}(L_n)\cong \mathrm{Sym}(n)$

라게르 다항식의 미분의 갈루아 군은 대칭군이거나 교대군이다.

$\mathrm{Gal}\left(\frac{d}{dx}{L}_n\right)\cong \{\begin{array}{cc}\mathrm{Sym}(n)& \mathrm{\exists }k:n=4k(k+1)\\ \mathrm{Alt}(n)& \mathrm{\exists }k:n=4k(k+1)\end{array}$

역사

에드몽 라게르(프랑스어: Edmond Laguerre)가 1878년 도입하였다.

응용

라게르 다항식은 양자역학에서 3차원 등방 양자 조화 진동자를 분석할 때 등장한다.

같이 보기

• 야코비 다항식
• 에르미트 다항식

외부 링크

• “Laguerre polynomials” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Laguerre polynomial” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.