멱등원

환론과 모노이드 이론에서, 멱등원(冪等元, 영어: idempotent element)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

정의

범주 $𝒞$ 의 자기 사상 $e : X \to X$ 가 $e \circ e = e$ 를 만족시킨다면, $e$ 를 $𝒞$ 의 멱등 사상(영어: idempotent morphism)이라고 한다.

만약 $e = g \circ f$ 이며 $f \circ g = {id}_{Y}$ 가 되는 사상 $f : X \to Y$ , $g : Y \to X$ 가 존재한다면, $e$ 를 분할 멱등 사상(영어: split idempotent morphism)이라고 한다.

$𝒞$ 의 카루비 껍질(영어: Karoubi envelope) $Split (𝒞)$ 는 다음과 같은 범주이다.

$Split (𝒞)$ 의 대상 $(X, e)$ 는 $𝒞$ 의 대상 $X \in 𝒞$ 과 $X$ 위의 멱등 사상 $e : X \to X$ 의 순서쌍이다.
$Split (𝒞)$ 의 사상 $f : (X, e) \to (X^{'}, e^{'})$ 는 $𝒞$ 의 사상 $f : X \to X^{'}$ 가운데, $e^{'} \circ f = f = f \circ e$ 인 것이다.
$\begin{matrix} X & \overset{e}{\to} & X \\ f ↓ & f ↘ & ↓ f \\ X^{'} & \to e^{'} & X^{'} \end{matrix}$
$(X, e)$ 위의 항등 사상은 $e \in {hom}_{𝒞} (X, X)$ 이다.

카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

𝒞 \to Split (𝒞)

X \mapsto (X, {id}_{X})

f \mapsto f

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

PSh (𝒞) ≃ PSh (Split (𝒞))

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

Split (𝒞) \to PSh (Split (𝒞)) ≃ PSh (𝒞)

가 존재한다.

모노이드 $(R, \cdot)$ 의 원소 $e \in R$ 가 $e^{2} = e \cdot e = 1$ 을 만족시킨다면, $e$ 를 $R$ 의 멱등원이라고 한다.

모노이드 $R$ 의 멱등원들만으로 구성된 집합 $E \subseteq R$ 에서, 만약

e e^{'} = e^{'} e \forall e \in E

가 성립한다면, $E$ 가 직교 멱등원 집합(영어: set of mutually orthogonal idempotents)이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(영어: nilpotent monoid)라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. $n$ 개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005345)

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \prod_{i = 1}^{k} (k - i + 1)^{2^{i}}

환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

환 $R$ 의 멱등원 $e \in R$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(영어: primitive idempotent)이라고 한다.

$(e R)_{R}$ 는 $R$ -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
$_{R} (R e)$ 는 $R$ -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
환 $e R e$ 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
$e = e_{1} + e_{2}$ 이자 $e_{1} e_{2} = e_{1} e_{2}$ , $e_{1} \neq 0 \neq e_{2}$ 인 멱등원 $e_{1}, e_{2} \in R$ 가 존재하지 않는다.

환 $R$ 의 멱등원 $e \in R$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(영어: local idempotent)이라고 한다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

집합의 범주 $Set$ 에서의 멱등 사상은 멱등 함수(영어: idempotent function)라고 한다. 즉, 집합 $X$ 위의 함수 $e : X \to X$ 가 다음 조건을 만족시키면, $X$ 위의 멱등 함수라고 한다.

멱등 함수 $e : X \to X$ 의 경우, 고정점 집합과 상이 일치한다.

{x \in X : x = e (x)} = {e (x) : x \in X}

또한, 이는 함자

Split (Set) \to Set

(X, e) \mapsto e (X)

(f : (X, e) \to (X^{'}, e^{'})) \mapsto (f |_{e (X)} : e (X) \to e^{'} (X^{'}))

를 이루며, 이는 충실충만한 매장

Set \to Split (Set)

X \mapsto (X, {id}_{X})

f \mapsto f

멱등 함수의 예로서 다음을 들 수 있다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 폐포 $cl : 𝒫 (X) \to 𝒫 (X)$ 는 멱등 함수이다. 그 상이자 고정점 집합은 닫힌집합들이다.
함수 $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ 가 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{1} - (x_{1} + \dots + x_{n}) / n, \dots, x_{n} - (x_{1} + \dots + x_{n}) / n)$ 으로 정의되었을 때, $f$ 는 멱등 함수이다. $f$ 의 상이자 고정점 집합은 산술 평균이 0인 원소들이다. 이는 분산의 정의에서 산술 평균 대신 제곱 평균을 사용하는 한 가지 동기가 된다.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent matrix” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Free idempotent monoid” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Idempotent” (영어). 《nLab》.
“Split idempotent” (영어). 《nLab》.
“Karoubi envelope” (영어). 《nLab》.
“Definition: idempotent” (영어). 《ProofWiki》. 2010년 5월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 24일에 확인함.

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