병적

바이어슈트라스 함수는 모든 곳에서 연속 함수이지만, 어느 곳에서도 미분 가능 함수가 아니다.

수학에서 어떤 수학적 현상이 일부 직관에 반할 때, 그 현상을 때때로 병적(pathological)이라고 부른다. 반대로 어떤 현상이 직관에 반하지 않으면, 잘 동작한다(well-behaved) 또는 좋다(nice)고 부른다. 이러한 용어들은 수학 연구 및 교육에서 때때로 유용하지만, 병적 또는 잘 동작한다는 것의 엄격한 수학적 정의는 없다.

해석학에서

병리 현상의 고전적인 예로는 모든 곳에서 연속 함수이지만 어느 곳에서도 미분 가능 함수가 아닌 바이어슈트라스 함수가 있다. 미분 가능한 함수와 바이어슈트라스 함수를 합하면 다시 연속이지만 어느 곳에서도 미분 가능하지 않다. 따라서 미분 가능한 함수만큼 많은 그러한 함수들이 존재한다. 사실, 베르의 범주 정리를 사용하면 연속 함수는 일반적으로 어느 곳에서도 미분 가능하지 않음을 보일 수 있다.

이러한 예들은 처음 발견되었을 때 병적이라고 여겨졌다. 앙리 푸앵카레의 말을 인용하자면 다음과 같다.

논리는 때때로 괴물을 낳는다. 반세기 동안 유용한 정직한 함수와 가능한 한 닮지 않으려고 노력하는 것처럼 보이는 기묘한 함수들이 많이 생겨났다. 더 이상 연속성이 없거나, 연속성은 있지만 미분은 없는 등. 게다가 논리의 관점에서 볼 때, 이 이상한 함수들이 가장 일반적이다. 찾지 않고 마주치는 함수들은 더 이상 특정 사례로만 보이지 않으며, 그들에게 남은 자리는 아주 작다.

이전에는 새로운 함수가 발명될 때 어떤 실용적인 목적을 위해서였다. 오늘날에는 우리 조상들의 추론이 틀렸음을 보여주기 위해 의도적으로 발명되며, 우리는 그 이상을 얻지 못할 것이다.

만약 논리가 교사의 유일한 지침이었다면, 그는 가장 일반적인 것, 즉 가장 기묘한 함수들부터 시작해야 했을 것이다. 그는 초보자가 이러한 괴물들의 집합과 씨름하게 해야 했을 것이다. 만약 그렇게 하지 않는다면, 논리학자들은 당신이 단계적으로만 정확성에 도달할 것이라고 말할 수도 있다.

— 앙리 푸앵카레, 과학과 방법 (1899), (1914년 번역), 125페이지

푸앵카레 이후, 미분 불가능한 함수들은 브라운 운동과 같은 기본적인 물리적 및 생물학적 과정과 금융의 블랙-숄즈 모델과 같은 응용 분야에서 나타나는 것으로 밝혀졌다.

『해석학의 반례들(Counterexamples in Analysis)』은 그러한 반례들로 가득 찬 책이다.

또 다른 병적 함수의 예로는 뒤 부아-레몽 연속 함수가 있으며, 이는 푸리에 급수로 표현될 수 없다.

위상수학에서

위상수학에서 유명한 반례 중 하나는 알렉산더의 뿔 달린 구인데, 이는 구 S²를 R³에 위상적으로 삽입하는 것이 공간을 깔끔하게 분리하지 못할 수 있음을 보여준다. 반례로서, 이는 수학자들이 뿔 달린 구, 야생 매듭, 그리고 다른 유사한 예들이 보여주는 종류의 거친 행동을 억제하는 유순성 속성을 정의하도록 동기를 부여했다.

다른 많은 병리 현상처럼, 뿔 달린 구는 어떤 의미에서 무한히 미세하고 재귀적으로 생성된 구조를 가지고 있으며, 이는 극한에서 일반적인 직관을 위반한다. 이 경우, 극한에서 구의 연속적인 조각들의 끊임없이 내려가는 연동 고리들의 위상은 일반적인 구의 위상을 완전히 반영하며, 삽입 후 그 바깥쪽도 동일하게 작동할 것이라고 예상할 수 있다. 그러나 그렇지 않다. 이는 단일 연결이 되지 못한다.

기본 이론에 대해서는 조르단-쇤플리스 정리를 참조하라.

『위상수학의 반례들(Counterexamples in Topology)』은 그러한 반례들로 가득 찬 책이다.

잘 동작함

수학자들 (및 관련 과학 분야 종사자들)은 수학적 객체—함수, 집합, 어떤 종류의 공간—가 "잘 동작하는지"에 대해 매우 자주 이야기한다. 이 용어는 고정된 형식적 정의가 없지만, 일반적으로 문맥, 수학적 관심사, 유행, 취향에 따라 달라질 수 있는 지배적인 조건 목록을 만족하는 특성을 의미한다. 객체가 "잘 동작하도록" 보장하기 위해 수학자들은 연구 영역을 좁히기 위해 추가적인 공리를 도입한다. 이는 분석을 더 쉽게 만드는 이점이 있지만, 도출된 결론의 일반성 상실을 초래한다.

순수 및 응용 수학 (예: 최적화, 수치적분, 수리물리학)에서 잘 동작한다는 것은 논의 중인 분석을 성공적으로 적용하는 데 필요한 어떤 가정도 위반하지 않음을 의미하기도 한다.

그 반대 경우는 보통 "병적"이라고 불린다. 대부분의 경우 (집합의 크기 또는 측도의 측면에서) 병적이지만, 병적 사례가 실제로는 발생하지 않는 상황은 드물지 않다—의도적으로 구성되지 않는 한.

"잘 동작함"이라는 용어는 일반적으로 절대적인 의미로 적용된다—어떤 것이 잘 동작하거나 그렇지 않거나. 예를 들어:

• 알고리즘 추론에서 잘 동작하는 통계량은 단조적이고, 잘 정의되며, 충족 통계량이다.
• 베주 정리에서 두 다항식은 잘 동작하며, 따라서 그들의 다항식 최대공약수가 상수인 경우 정리가 제시하는 교점 수 공식이 유효하다.
• 유리형 함수는 두 개의 잘 동작하는 함수들의 비이다. 여기서 두 함수는 정칙 함수를 의미한다.
• 카루시-쿤-터커 조건은 잘 동작하는 비선형 계획법 문제의 해가 최적이기 위한 1차 필요 조건이며, 어떤 정규성 조건이 만족될 때 문제가 잘 동작한다고 한다.
• 확률에서 확률 공간의 해당 시그마 대수에 포함된 사건들은 잘 동작하며, 가측 함수들도 마찬가지이다.

특이하게도 이 용어는 비교적인 의미로도 적용될 수 있다.

• 미적분학에서:
  • 해석 함수는 일반적인 매끄러운 함수보다 잘 동작한다.
  • 매끄러운 함수는 일반적인 미분 가능한 함수보다 잘 동작한다.
  • 연속 미분 가능 함수는 일반적인 연속 함수보다 잘 동작한다. 함수를 미분할 수 있는 횟수가 많을수록 더 잘 동작한다.
  • 연속 함수는 콤팩트 집합에서 리만 적분 가능 함수보다 잘 동작한다.
  • 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분 가능 함수보다 잘 동작한다.
  • 르베그 적분 가능 함수는 일반적인 함수보다 잘 동작한다.
• 위상수학에서:
  • 연속 함수는 불연속 함수보다 잘 동작한다.
  • 유클리드 공간은 비유클리드 기하학보다 잘 동작한다.
  • 인력 고정점은 척력 고정점보다 잘 동작한다.
  • 하우스도르프 위상은 임의의 일반위상수학보다 잘 동작한다.
  • 보렐 집합은 실수의 임의의 집합보다 잘 동작한다.
  • 정수 차원을 가진 공간은 프랙탈 차원을 가진 공간보다 잘 동작한다.
• 추상대수학에서:
  • 군은 마그마와 반군보다 잘 동작한다.
  • 아벨 군은 비아벨 군보다 잘 동작한다.
  • 유한 생성 아벨 군은 유한하게 생성되지 않은 아벨 군보다 잘 동작한다.
  • 유한-차원 벡터 공간은 무한 차원 공간보다 잘 동작한다.
  • 체는 나눗셈환 또는 일반적인 환보다 잘 동작한다.
  • 분리 가능한 체의 확대는 비분리 가능한 것보다 잘 동작한다.
  • 노름 나눗셈 대수는 일반적인 합성 대수보다 잘 동작한다.

병적인 예시

병적인 예시는 종종 이론 내에서 다루거나 설명하기 어려운 바람직하지 않거나 특이한 속성을 갖는다. 이러한 병적인 행동은 종종 새로운 조사와 연구를 촉발하여 새로운 이론과 더 일반적인 결과를 이끌어낸다. 몇 가지 중요한 역사적 예시는 다음과 같다.

• 즉석결선투표제는 너무 많은 표를 얻은 후보자를 제거하는 경향 때문에 병적인 사회 선택 함수로 흔히 묘사된다.
• 고대 그리스 피타고라스 학파에 의한 무리수의 발견; 예를 들어 단위정사각형의 대각선 길이인 $\sqrt{2}$.
• 16세기에 삼차 함수와 사차 함수 다항 함수의 근을 찾기 위해 복소수가 발견되었다.
• 일부 대수적 수체는 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역을 형성하지 않는다. 예를 들어 체의 확대 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$.
• 프랙탈 및 기타 "거친" 기하학적 객체들의 발견 (하우스도르프 차원 참조).
• 바이어슈트라스 함수: 실수선상의 실수 값 함수로, 모든 곳에서 연속 함수이지만 어느 곳에서도 미분 가능 함수가 아니다.
• 실해석학 및 분포 이론의 테스트 함수로, 주어진 유한 구간 외부에서는 모두 0인 무한 미분 가능 함수이다. 그러한 함수의 예시는 다음과 같다. $$\phi (t)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-1/(1-t^2)},& -1<t<1,\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$$
• 칸토어 집합은 구간 $[0,1]$의 부분 집합으로 측도는 0이지만 비가산 집합이다.
• 뚱뚱한 칸토어 집합은 어디에서도 조밀하지 않지만 양의 측도를 갖는다.
• 파비우스 함수는 모든 곳에서 매끄럽지만 어느 곳에서도 해석 함수가 아니다.
• 볼테라 함수는 모든 곳에서 미분 가능 함수이며 유계 도함수를 가지지만, 도함수는 리만 적분 가능하지 않다.
• 페아노 공간 채움 곡선은 단위 구간 $[0,1]$을 $[0,1]\times [0,1]$로 매핑하는 연속 전사 함수이다.
• 디리클레 함수는 유리수에 대한 지시 함수로, 유계 함수이지만 리만 적분 가능하지 않다.
• 칸토어 함수는 $[0,1]$을 $[0,1]$로 매핑하는 단조 연속 전사 함수이지만 거의 어디서나 도함수가 0이다.
• 민코프스키 물음표 함수는 연속이고 엄격하게 증가하지만 거의 모든 곳에서 도함수가 0이다.
• 페아노 산술의 가산, 재귀적으로 포화된 모형에 대해 "직관적으로 거짓인" 산술적 명제를 포함하는 만족 클래스를 구성할 수 있다.
• 오스굿 곡선은 양의 넓이를 갖는 조르단 곡선이다 (대부분의 공간 채움 곡선과 달리).
• 이국적 초구 모노이드는 표준 유클리드 초구와 위상동형이지만 미분동형이 아니다.

발견 당시, 이들 각각은 매우 병적이라고 여겨졌다. 오늘날에는 각각 현대 수학 이론에 동화되었다. 이러한 예시들은 관찰자들이 자신의 믿음이나 직관을 수정하도록 유도하고, 어떤 경우에는 기초적인 정의와 개념을 재평가할 필요성을 제기한다. 역사적으로 이들은 더 정확하고, 더 정밀하며, 더 강력한 수학으로 이어졌다. 예를 들어, 디리클레 함수는 르베그 적분 가능하며, 테스트 함수와의 컨볼루션은 국소 적분 가능 함수를 매끄러운 함수로 근사하는 데 사용된다.

어떤 행동이 병적인지 여부는 정의상 개인적인 직관에 달려 있다. 병리 현상은 문맥, 훈련, 경험에 따라 달라지며, 한 연구자에게 병적인 것이 다른 연구자에게는 표준적인 행동일 수 있다.

병적인 예시들은 정리의 가정의 중요성을 보여줄 수 있다. 예를 들어, 통계학에서 코시 분포는 대칭적인 종 모양이 중심 극한 정리를 만족하는 많은 분포들과 유사해 보이지만, 존재하고 유한해야 하는 평균과 표준 편차를 가지지 못해 중심 극한 정리를 만족하지 않는다.

바나흐-타르스키 역설과 하우스도르프 역설과 같이 잘 알려진 역설 중 일부는 비가측 집합의 존재에 기반을 두고 있다. 수학자들은 선택 공리를 부정하는 소수 입장을 취하지 않는 한, 일반적으로 그러한 집합들과 함께 사는 것에 체념한다.

컴퓨터 과학

컴퓨터 과학에서 병적이라는 용어는 알고리즘 연구와 관련하여 약간 다른 의미를 갖는다. 여기서는 입력(또는 입력 집합)이 병적이라고 불리는데, 이는 알고리즘에서 평균 사례 복잡성 위반이나 심지어 정확성 위반과 같은 비정형적인 동작을 유발하기 때문이다. 예를 들어, 해시 테이블은 일반적으로 병적인 입력, 즉 해시 값에서 충돌하는 키 집합을 갖는다. 퀵 정렬은 일반적으로 $O(n\log n)$ 시간 복잡도를 갖지만, 최적화되지 않은 동작을 유발하는 입력이 주어지면 $O(n^2)$로 성능이 저하된다.

이 용어는 종종 경멸적으로 사용되며, 실제로는 건전한 루틴을 파괴하기 위해 특별히 설계된 입력으로 그러한 입력을 일축하는 방식이다 (비잔틴과 비교). 다른 한편으로, 병적인 입력에 대한 인식은 중요하다. 왜냐하면 이는 컴퓨터 시스템에 대한 서비스 거부 공격을 가하는 데 악용될 수 있기 때문이다. 또한, 이 용어는 다른 의미에서와 마찬가지로 주관적인 판단의 문제이다. 충분한 실행 시간과 충분히 크고 다양한 사용자 커뮤니티(또는 기타 요인)가 주어지면, 병적이라고 일축될 수 있는 입력이 실제로 발생할 수 있다 (아리안 5호의 아리안 5 첫 시험 비행에서 볼 수 있듯이).

예외

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 예외적인 대상입니다.

유사하지만 다른 현상으로는 예외적인 대상 (및 예외적인 동형사상)이 있는데, 이는 일반적인 패턴에 대한 "소수"의 예외가 있을 때 발생한다 (예: 그렇지 않으면 무한한 규칙에 대한 유한한 예외 집합). 대조적으로, 병리 현상의 경우 종종 현상의 대부분 또는 거의 모든 인스턴스가 병적이다 (예: 거의 모든 실수는 무리수이다).

주관적으로, 예외적인 대상 (예: 이십면체 또는 산재 단순군)은 일반적으로 이론의 "아름답고" 예상치 못한 예로 간주되는 반면, 병적인 현상은 이름에서 알 수 있듯이 종종 "추악한" 것으로 간주된다. 따라서 이론은 일반적으로 예외적인 대상을 포함하도록 확장된다. 예를 들어, 예외 리 대수는 반단순 리 대수 이론에 포함된다. 공리는 좋다고 여겨지고, 예외적인 대상은 예상치 못했지만 유효하다고 여겨진다.

대조적으로, 병적인 예시들은 공리의 단점을 지적하며, 이를 배제하기 위해 더 강력한 공리가 필요하다. 예를 들어, 쇤플리스 문제에서 구의 삽입에 대한 유순성 요구. 일반적으로, 병리 현상을 포함하는 더 일반적인 이론을 연구할 수 있으며, 이는 자체적인 단순화를 제공할 수 있지만 (실수는 유리수와 매우 다른 속성을 가지며, 연속 사상도 매끄러운 사상과 매우 다른 속성을 가진다), 원래 예시가 파생된 더 좁은 이론도 연구할 수 있다.

같이 보기

• 프랙탈 곡선
• 수학 전문 용어 목록
• 룽게 현상
• 기브스 현상
• 역설적인 집합

외부 링크

• 병적인 구조와 프랙탈 – 프리먼 다이슨의 기사 "불규칙성 특성 분석(Characterising Irregularity)", Science, 1978년 5월 발췌