차분한 공간

일반위상수학에서 차분한 공간(-空間, 영어: sober space)은 모든 점들이 열린집합의 격자로부터 결정되는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 차분한 공간이라고 한다.

모든 기약 닫힌집합이 정확히 하나의 일반점을 갖는다.
점들은 그 열린집합들의 격자로부터 재구성할 수 있다. 즉, X의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수 Open⁡(X)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다.
- $X$
- 틀 사상 $Open (X) \to 2$ 들의 집합. 여기서 $2 = {0, 1}$ ( $0 < 1$ )는 한원소 공간 ${∙}$ 의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수이다.
(호프만-미슬러브 정리, 영어: Hofmann–Mislove theorem) 다음 두 부분 순서 집합 사이에 순서 동형이 존재한다.^[1]^:146^[2]^:301
- $Open (X)$ 의 스콧 열린 필터들의 부분 순서 집합
- $X$ 의 콤팩트 포화 집합의 부분 순서 집합의 반대 순서 집합.

호프만-미슬러브 정리의 증명:

위상 공간 $X$ 의 모든 기약 닫힌집합이 정확히 하나의 일반점을 갖는다고 하자. 호프만-미슬러브 조건을 보이려면, 다음 네 명제를 보이면 족하다.

임의의 스콧 열린 필터 $ℱ \subseteq Open (X)$ 에 대하여, $⋂ ℱ$ 는 $X$ 의 콤팩트 포화 집합이다.
임의의 콤팩트 포화 집합 $K \subseteq X$ 에 대하여, 그 열린 근방 필터 $𝒰 (K)$ 는 $Open (X)$ 의 스콧 열린 필터이다.
임의의 스콧 열린 필터 $ℱ \subseteq Open (X)$ 에 대하여, $𝒰 (⋂ ℱ) = ℱ$
임의의 콤팩트 포화 집합 $K \subseteq X$ 에 대하여, $⋂ 𝒰 (K) = K$

세 번째 명제의 증명. 자명하게 $ℱ \subseteq 𝒰 (⋂ ℱ)$ 이다. 이제, $U$ 가 열린집합이며, $⋂ ℱ \subseteq U$ 라고 하자. 귀류법을 사용하여, $U \in̸ ℱ$ 라고 하자. $ℱ$ 가 스콧 열린집합이므로, 이러한 $U$ 들의 임의의 사슬이 상계를 가짐을 보일 수 있다. 초른 보조정리에 따라, $U$ 가 $⋂ ℱ \subseteq U$ 이지만 $U \in̸ ℱ$ 인 극대 열린집합이라고 가정하자. 그렇다면, 극대성에 따라 $X ∖ U$ 는 $X$ 의 기약 닫힌집합이다. $X ∖ U = cl {x}$ 인 유일한 $x \in X$ 를 취하자. 그렇다면, 임의의 $V \in ℱ$ 에 대하여, $V \subseteq̸ U$ 이므로, $x \in V$ 이다. 따라서, $x \in ⋂ ℱ \subseteq U$ 이며, 이는 모순이다.

첫 번째 명제의 증명. $⋂ ℱ$ 는 자명하게 포화 집합이다. 이제, ${U_{i}}_{i \in I}$ 가 $⋂ ℱ$ 의 임의의 열린 덮개라고 하자. 즉, $⋂ ℱ \subseteq ⋃_{i \in I} U_{i}$ 이다. 세 번째 명제에 따라, $⋃_{i \in I} U_{i} \in ℱ$ 이다. $ℱ$ 가 $Open (X)$ 의 스콧 열린집합이며, 유한 개의 덮개 원소의 합집합들의 집합이 $Open (X)$ 의 상향 집합이므로, $U_{i_{1}} \cup U_{i_{2}} \cup \dots \cup U_{i_{n}} \in ℱ$ 인 유한 개의 덮개 원소 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} \in I$ 가 존재한다. 따라서, $⋂ F \subseteq U_{i_{1}} \cup U_{i_{2}} \cup \dots \cup U_{i_{n}}$ 이다. 즉, ${U_{i_{1}}, U_{i_{2}}, \dots, U_{i_{n}}}$ 은 ${U_{i}}_{i \in I}$ 의 유한 부분 덮개이다.

두 번째 명제의 증명. $𝒰 (K)$ 는 자명하게 $Open (X)$ 의 필터를 이룬다. 이제, $𝒟$ 가 $Open (X)$ 의 상향 집합이며, $⋃ 𝒟$ 가 $K$ 의 열린 근방이라고 하자. $𝒟 \cap 𝒰 (K) \neq \emptyset$ 을 보이면 족하다. $𝒟$ 는 $K$ 의 열린 덮개이므로, 유한 부분 덮개 $𝒟^{'} \subseteq 𝒟$ 가 존재한다. $𝒟$ 가 상향 집합이므로, $𝒟^{'}$ 의 상계 $U \in 𝒟$ 가 존재한다. 이 경우 $K \subseteq ⋃ 𝒟^{'} \subseteq U$ 이며, 따라서 $U \in 𝒟 \cap 𝒰 (K)$ 이다.

네 번째 명제의 증명. 자명하게 $K \subseteq ⋂ 𝒰 (K)$ 이다. $K = ⋂ S$ 인, 열린집합들의 집합 $𝒮$ 를 취하자. 그렇다면, $𝒮 \subseteq 𝒰 (K)$ 이므로, $⋂ 𝒰 (K) \subseteq ⋂ 𝒮 = K$ 이다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콜모고로프 공간(T₀) ⊋ 차분한 공간 ∪ T₁ 공간 ⊋ 차분한 공간 ∩ T₁ 공간 ⊋ 하우스도르프 공간(T₂)

그러나 T₁ 공간이 아닌 차분한 공간이 존재하며, 반대로 차분하지 않는 T₁ 공간도 존재한다.

가환환의 스펙트럼은 항상 차분한 공간이다. 또한, 모든 스킴은 차분한 공간이다. (그러나 이는 대개 하우스도르프 공간이 아니다.)

차분한 공간과 연속 함수의 범주 $Sober$ 는 모든 위상 공간의 범주 $Top$ 의 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

I : Sober \to Top

는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

S : Top \to Sober

S ⊣ I

위상 공간 $X$ 에 대하여, $S (X)$ 를 $X$ 의 차분화(영어: soberification)라고 한다.

장소와의 관계

차분한 공간의 범주는 장소의 범주 $Loc$ 의 어떤 쌍대 반사 부분 범주와 동치이다. (구체적으로, 이는 점을 충분히 가지는 장소들의 범주 $ptLoc$ 이다.) 이에 따라, 수반 함자의 쌍

Top \binom{\to}{↩} Sober ≃ ptLoc \binom{↪}{\leftarrow} Loc

이 존재하며, 이를 합성하면 수반 함자 $Top ⇄ Loc$ 를 얻는다. 즉, 차분한 공간은 장소로서 그 구조가 충실하게 나타내어지는 위상 공간이다.

예

T₁ 공간이 아닌 차분한 공간

극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼을 갖는 가환환 $R$ 의 스펙트럼 $Spec R$ 는 차분한 공간이지만, 소 아이디얼이 닫힌 점이 아니므로 T₁ 공간이 아니다. 이러한 가장 간단한 경우는 시에르핀스키 공간이다.

차분하지 않은 T₁ 공간

다음과 같은 단사 함수를 생각하자.

ℝ^{2} \to 𝔸_{ℝ}^{2} = Spec ℝ [x, y]

(a, b) \mapsto ((x - a) (x - b)) \subset ℝ [x, y]

그렇다면, 이 단사 함수의 상에, 아핀 스킴 $𝔸_{ℝ}^{2}$ 의 (자리스키 위상의) 부분 공간 위상을 주자. 그렇다면 이는 T₁ 공간이지만, 차분한 공간이 아니다. 이 공간의 차분화는 $𝔸_{ℝ}^{2}$ 전체이다.

다른 예로, 임의의 무한 집합 위에 쌍대 유한 위상(닫힌집합이 유한 집합인 위상)을 주자. 이는 T₁이지만 차분한 공간이 아니다. (공간 전체는 닫힌집합이자 기약 공간이지만, 이는 일반점을 갖지 않는다.)

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T₁ 공간

실수선 $ℝ$ 에 새로운 점 $∙$ 을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

$ℝ$ 의 위상에서 열린집합 $U$ 는 $ℝ ⊔ {∙}$ 에서도 열린집합이다.
$S \subset ℝ$ 가 유한 집합이라면, $(ℝ ∖ S) ⊔ {∙}$ 은 열린집합이다.

그렇다면 $ℝ ⊔ {∙}$ 은 T₁ 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

각주

↑ Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》 (영어). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.
↑ Keimel, Klaus; Paseka, Jan (1994). “A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem” (영어). 《Proceedings of the American Mathematical Society》 120 (1): 301–303. doi:10.2307/2160199. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160199. MR 1195723. Zbl 0789.54030.

외부 링크

“Sober space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Sober topological space” (영어). 《nLab》.

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[Gierz-1] Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》 (영어). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.

[Keimel-2] Keimel, Klaus; Paseka, Jan (1994). “A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem” (영어). 《Proceedings of the American Mathematical Society》 120 (1): 301–303. doi:10.2307/2160199. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160199. MR 1195723. Zbl 0789.54030.

[1]

[2]

정의

성질

장소와의 관계

예

T1 공간이 아닌 차분한 공간

차분하지 않은 T1 공간

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T1 공간

각주

외부 링크

T₁ 공간이 아닌 차분한 공간

차분하지 않은 T₁ 공간

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T₁ 공간