모레라 정리

복소해석학에서 모레라 정리(-定理, 영어: Morera's theorem)는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다.

정의

모레라 정리에 따르면, 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 연속 함수 $f:D\to ℂ$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 정칙 함수이다.
• 임의의 조각마다 ${𝒞}^1$ 닫힌 곡선 $\gamma :[a,b]\to D$에 대하여, $\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z=0$
• 임의의 삼각형 열린집합 $T\subseteq D$에 대하여, $\underset{\partial T}{\int }f(z)\mathrm{d}z=0$

특히, $D$가 단일 연결 열린집합이라면, $f$가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다.

증명

코시 적분 정리에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.^:91-92

임의의 $w_0\in D$를 취하자. 그렇다면, $f$가 어떤 볼록 열린 근방 $w_0\in \tilde{D}\subseteq D$에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. ($\tilde{D}$는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.)

함수 $F:\tilde{D}\to ℂ$를

$F(w)=\underset{[w_0,w]}{\int }f(z)\mathrm{d}z\mathrm{\forall }w\in \tilde{D}$

와 같이 정의하자. 여기서 $[w_0,w]\subseteq \tilde{D}$는 $w_0$와 $w$ 사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 $w\in \tilde{D}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\underset{w^{\prime }\to w}{\lim }\frac{F(w^{\prime })-F(w)}{w^{\prime }-w}& =\underset{w^{\prime }\to w}{\lim }\underset{[w,w^{\prime }]}{\int }\frac{f(z)}{w^{\prime }-w}\mathrm{d}z\\ & =\underset{w^{\prime }\to w}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(w+t(w^{\prime }-w))\mathrm{d}t\\ & =f(w)\end{array}$

즉, 임의의 $w\in \tilde{D}$에 대하여, $F^{\prime }(w)=f(w)$이다. 따라서 $F$는 $\tilde{D}$에서 정칙 함수이며, 그 도함수 $f$ 역시 $\tilde{D}$에서 정칙 함수이다.

따름정리

모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 정칙 함수열 $f_n:D\to ℂ$가 함수 $f:D\to ℂ$로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면, $f$ 역시 정칙 함수이다.

임의의 $z_0\in D$를 취하고, $0<r<d(z_0,\partial D)$를 취하자. 그렇다면, $\overline{\mathrm{B}}(z_0,r)\subseteq D$이며, 이는 콤팩트 집합이므로, $f_n$은 $\overline{\mathrm{B}}(z_0,r)$에서 $f$로 균등 수렴한다. 따라서, $f$는 $\overline{\mathrm{B}}(z_0,r)$에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 ${𝒞}^1$ 닫힌 곡선 $\gamma :[a,b]\to \overline{\mathrm{B}}(z_0,r)$에 대하여,

$\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\gamma }{\int }{f}_n(z)\mathrm{d}z=0$

이다. 모든 삼각형은 조각마다 ${𝒞}^1$ 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, $f$는 $\overline{\mathrm{B}}(z_0,r)$에서 정칙 함수이다.

리만 제타 함수의 정칙성

리만 제타 함수 $\zeta$는

$D=\{s\in ℂ:\mathrm{Re}s>1\}$

에서 다음과 같이 정의된다.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\mathrm{\forall }s\in D$

이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 $D$에서 콤팩트 수렴하며, 각 $s\mapsto 1/n^s$는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 ${𝒞}^1$ 곡선 $\gamma :[a,b]\to D$에 대하여,

$\underset{\gamma }{\int }\zeta (s)\mathrm{d}s=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\gamma }{\int }\frac{1}{n^s}\mathrm{d}s=0$

이다. 모레라 정리에 의하여, $\zeta$는 $D$에서 정칙 함수이다.

감마 함수의 정칙성

감마 함수 $\Gamma$는

$D=\{s\in ℂ:\mathrm{Re}s>0\}$

에서 다음과 같이 정의된다.

$\Gamma (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$

각 $s\mapsto x^{s-1}$는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 ${𝒞}^1$ 곡선 $\gamma :[a,b]\to D$에 대하여,

$\underset{\gamma }{\int }\Gamma (s)\mathrm{d}s=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\mathrm{d}x\underset{\gamma }{\int }{x}^{s-1}\mathrm{d}s=0$

이다. 모레라 정리에 의하여, $\Gamma$는 $D$에서 정칙 함수이다.

같이 보기

• 코시-리만 방정식
• 유수 (복소해석학)
• 미타그레플레르 정리

외부 링크

• “Morera theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Morera's theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.