분수 아이디얼

가환대수학과 대수적 수론에서 분수 아이디얼(分數ideal, 영어: fractional ideal)은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다.

정의

분수 아이디얼

가환환 $R$가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을 $\mathrm{Frac}(R)$라고 하자. $R$의 분수 아이디얼 $\Im \subseteq \mathrm{Frac}R$는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

• $\Im$는 $R$에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • $I$는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 $a,b\in \Im$에 대하여, $a+b\in \Im$이다.
  • 임의의 $r\in R$ 및 $a\in \Im$에 대하여, $ra\in \Im$이다.
• $r\Im \subseteq R$인 $r\in R$가 존재한다.

두 분수 아이디얼 $\Im ,𝔍$의 곱은 다음과 같다.

$\Im 𝔍=\{a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n:a_1,\dots ,a_n\in \Im ,b_1,b_2,\dots ,b_n\in 𝔍,n\in \mathbb{N}\}$

이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, $R$는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 ($\Im R=R\Im =\Im$). 따라서, 정역 $R$의 분수 아이디얼들의 집합 $\mathrm{FracIdeal}(R)$은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 가역 분수 아이디얼(영어: invertible fractional ideal)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 $\mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }⊊\mathrm{FracIdeal}(R)$을 이룬다.

두 분수 아이디얼 $\Im ,𝔍\subseteq \mathrm{Frac}R$의 합

$\Im +𝔍=\{a+b:a\in \Im ,b\in 𝔍\}$

역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 $r,s\in R$에 대하여 $r\Im ,s𝔍\subseteq R$라면 $rs(\Im +𝔍)\subseteq R$이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 $\{0\}$은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, $\mathrm{FracIdeal}(R)$는 반환을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 $({\Im }_i{)}_{i\in I}$의 교집합

$\bigcap _{i\in I}\Im$

역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 ($\mathrm{Frac}R$ 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

주 분수 아이디얼

다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다.

$(\mathrm{Frac}R,\times )\to (\mathrm{FracIdeal}(R),\times )$

$a\mapsto Ra=\{ra:r\in R\}$

$(Ra)(Rb)=R(ab)\mathrm{\forall }a,b\in R$

그러나 일반적으로 $Ra+Rb\ne R(a+b)$이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다.

$R$의 주 분수 아이디얼(主分數ideal, 영어: principal fractional ideal)의 집합 $\mathrm{PrFracIdeal}(R)\subseteq \mathrm{FracIdeal}(R)$은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 $Ra$의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.

이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다.

$Ra=Rb⟺\mathrm{\exists }u\in R^{\times }:a=ub$

즉, 다음과 같다.

$\mathrm{PrFracIdeal}(R{)}^{\times }\cong \frac{\mathrm{Frac}(R{)}^{\times }}{R^{\times }}$

인자 아이디얼

$\mathrm{Frac}R$의 $R$-부분 가군 $\Im$에 대하여, 다음 기호를 정의하자.

$(R:\Im )=\{a\in \mathrm{Frac}R:a\Im \subseteq R\}$

즉, $(R:(R:\Im ))$는 $\Im$를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.

만약 분수 아이디얼 $\Im$가

$\Im =(R:(R:\Im ))$

를 만족시킨다면, $\Im$를 인자 아이디얼(因子ideal, 영어: divisorial ideal)이라고 한다. 그 집합을 $\mathrm{DivIdeal}(R)$로 표기하자.

$\mathrm{DivIdeal}(R)$ 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.

$\Im \cdot 𝔍=(R:(R:\Im 𝔍))$

이 곱에 대하여 $\mathrm{DivIdeal}(R)$는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 $R$가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 $I$의 역원은 $(R:I)$이다.

$a\in (\mathrm{Frac}R{)}^{\times }$에 대하여 $(R:Ra)=R{a}^{-1}$이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 $(R:\Im )={\Im }^{-1}$이다.

성질

임의의 정역 $R$에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\begin{array}{cccccc}& \mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }& \subseteq & \mathrm{DivIdeal}(R)& ⊊& \mathrm{FracIdeal}(R)\\ & \cup & & & & \cup \\ \mathrm{PrFracIdeal}(R)\cap \mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }=& \mathrm{PrFracIdeal}(R{)}^{\times }& & ⊊& & \mathrm{PrFracIdeal}(R)\end{array}$

크룰 정역

크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역 $R$에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며, $\mathrm{DivIdeal}(R)$를 생성한다.

이 경우, 몫군

$\frac{\mathrm{DivIdeal}(R)}{\mathrm{PrFracIdeal}(R{)}^{\times }}=\mathrm{Div}(R)$

을 $R$의 인자 유군이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.

데데킨트 정역

데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

구체적으로, 정역 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $R$는 데데킨트 정역이다.
• $R$의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.

이 경우, 몫군

$\frac{\mathrm{FracIdeal}(R)}{\mathrm{PrFracIdeal}(R)}=\mathrm{Cl}(R)$

을 $R$의 아이디얼 유군이라고 한다.

두 데데킨트 정역 $R\subseteq S$이 주어졌으며, $S$가 $R$의 (분수체 $\mathrm{Frac}S$ 속의) 정수적 폐포라고 한다면, 아이디얼 노름이라는 곱셈 모노이드 준동형

${\mathrm{N}}_{S/R}:\mathrm{FracIdeal}S\to \mathrm{FracIdeal}R$

을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.

유일 인수 분해 정역

유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다.

주 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼

구체적으로, 정역 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $R$는 유일 인수 분해 정역이다.
• $R$는 크룰 정역이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다.

주 아이디얼 정역과 체

주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

체에서는 아이디얼이 $(0)$과 $(1)$밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}

예

정수환 $\mathbb{Z}$의 경우, 임의의 유리수 $p/q\in \mathbb{Q}$에 대하여

$(p/q)=\frac{p}{q}\mathbb{Z}=\{np/q:n\in \mathbb{Z}\}$

는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는 $p/q\in \mathbb{Q}$에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다.

만약 $p/q\ne 0$이라면

$(\mathbb{Z}:(p/q))=\frac{q}{p}\mathbb{Z}=(q/p)$

이며,

$(\mathbb{Z}:(q/p))=\frac{1}{n}\mathbb{Z}$

이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약 $p/q=0$이라면,

$(\mathbb{Z}:(0))=\mathbb{Q}$

$(\mathbb{Z}:\mathbb{Q})=(0)$

이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.

외부 링크

• “Fractional ideal” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Divisorial ideal” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fractional ideal” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Fractional ideal” (영어). 《nLab》. 
• “When does the group of invertible ideal quotients = the free abelian group on the prime ideals?” (영어). Math Overflow. 2016년 4월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 26일에 확인함.